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壓電驅(qū)動器電壓及其頻率對驅(qū)動速度的建設(shè)
0、引 言
壓電陶瓷是一種可實現(xiàn)機(jī)械能與電能互相轉(zhuǎn)換的功能材料，具有結(jié)構(gòu)簡單、體積小、重量輕、分辨率高等優(yōu)點，作為微操作器驅(qū)動中的主流材料，已被廣泛應(yīng)用于航空、航天飛行器的精密制導(dǎo)、激光陀螺、自適應(yīng)光學(xué)、精密機(jī)械加工、自動控制、半導(dǎo)體集成、生物醫(yī)學(xué)工程等技術(shù)領(lǐng)域[1?4]。壓電陶瓷驅(qū)動器的控制通常采用PI或PID控制器[5]。文獻(xiàn)[6]針對含有壓電智能結(jié)構(gòu)的柔性機(jī)械臂，提出了基于模糊PID融合控制理論的柔性機(jī)械臂振動主動控制方法，搭建了懸臂梁和平面1R、2R柔性機(jī)械臂實驗裝置，并設(shè)計了相應(yīng)的控制系統(tǒng)，通過實驗實現(xiàn)了柔性機(jī)械臂振動的主動控制。采用Preisach控制模型是壓電陶瓷控制的有效方法之一，但是采樣數(shù)據(jù)的不穩(wěn)定性仍然會對控制過程帶來較大的影響和誤差。為進(jìn)一步提高在實現(xiàn)過程中的定位控制精度及穩(wěn)定性，文獻(xiàn)[7]將積分分離PID控制應(yīng)用于壓電陶瓷定位過程，達(dá)到了預(yù)期的控制精度和效果。但由于PI或PID控制器的控制參數(shù)需要進(jìn)行反復(fù)調(diào)試才能確定，因此控制器的設(shè)計是一項耗時的工作。為縮短控制參數(shù)的調(diào)試時間，了解壓電陶瓷驅(qū)動器的工作特性，特別是研究驅(qū)動電壓對驅(qū)動器運行的影響十分必要[8]。
文獻(xiàn)[9]針對一種新型的可直線運動的壓電陶瓷驅(qū)動器，通過實驗對其性能進(jìn)行了測試，給出了驅(qū)動電壓及其頻率與驅(qū)動器速度的關(guān)系曲線。由于曲線都是通過將離散的實驗數(shù)據(jù)點連接起來得到的，因此忽略了相鄰兩個數(shù)據(jù)點之間頻率與驅(qū)動器速度的真實關(guān)系以及不連續(xù)點的存在性。其次，由于實驗數(shù)據(jù)必然存在的誤差，文獻(xiàn)[9]只是根據(jù)顯然不在同一直線上的三個數(shù)據(jù)點連成的折線，斷言驅(qū)動電壓與驅(qū)動器速度基本成線性關(guān)系，而未對驅(qū)動電壓與驅(qū)動器速度成線性關(guān)系給出確定的結(jié)論。為給出精確的頻率與驅(qū)動器速度關(guān)系曲線，并確定驅(qū)動電壓與驅(qū)動器速度的關(guān)系，本文將從壓電陶瓷的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系出發(fā)，導(dǎo)出壓電驅(qū)動器位移的微分方程，由此獲得驅(qū)動電壓及其頻率與驅(qū)動器速度關(guān)系的解析表達(dá)式，并根據(jù)這些表達(dá)式研究壓電驅(qū)動器電壓及其頻率對驅(qū)動速度的影響。
1、壓電片位移的數(shù)學(xué)模型
壓電片的坐標(biāo)如圖1所示，電壓或電場沿[y]軸方向穿過其表面后，在[x]軸方向產(chǎn)生應(yīng)變和應(yīng)力，驅(qū)動前面的載荷直線運動。應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為[9]：
[σc=Ecεc-d31Vtc]
其中[σc]是壓電片產(chǎn)生的應(yīng)力，[Ec]是壓電片的彈性模量;[εc]是壓電片的應(yīng)變;[d31]是與施加在壓電片上的電場相關(guān)的壓電常數(shù);[V]是沿[y]軸方向施加的電壓;[tc]為壓電片的厚度 (沿[y]軸方向)。
圖1 壓電陶瓷的坐標(biāo)
若定義[V=0]時壓電片前面的位置為坐標(biāo)原點，則壓電片的應(yīng)變[εc]可以表示為[εc=xL，]其中[L]為壓電片沿[x]軸方向的長度。壓電片的應(yīng)力[σc]用于使載荷產(chǎn)生加速度，因此[σc=md2xdt2，]其中[m]為載荷質(zhì)量與壓電片垂直于[x]軸方向一面的面積的比值。于是應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以表示為：
[md2xdt2+EcLx=Ecd31Vtc]
或
[md2xdt2+nx=pV] (1)
式中：[n=EcL]，[p=Ecd31tc]。
2、電壓與速度的關(guān)系
微分方程(1)相應(yīng)的齊次方程的通解為：
[x=c1sin(λt)+c2cos(λt)]
式中：[λ=nm。]利用常數(shù)變易法，設(shè)微分方程(1)的通解為：
[x=c1(t)sin(λt)+c2(t)cos(λt)]
其中[c1(t)，c2(t)]是滿足方程組：
[c′1(t)sin(λt)+c′2(t)cos(λt)=0c′1(t)cos(λt)-c′2(t)sin(λt)=pλmV]
的待定函數(shù)。解上述方程組得：
[c′1(t)=pλmVcos(λt)c′2(t)=-pλmVsin(λt)]
因此：
[c1(t)=pλm0tVcos(λt)dt+c1c2(t)=-pλm0tVsin(λt)dt+c2]
[x=c1sin(λt)+c2cos(λt)+pλmsin(λt)0tVcos(λt)dt-pλmcos(λt)0tVsin(λt)dt=c1sin(λt)+c2cos(λt)+pλm0tVsin[λ(t-t)]dt]
[x=c1λcos(λt)-c2λsin(λt)+pm0tVcos[λ(t-t)]dt]
利用初始條件[x(0)=0，][x(0)=0]得[c1=c2=0]，因此：
[x=pλm0tVsin[λ(t-t)]dt]
令[V=Asin (ωt)，]其中[A]為電壓幅值，[ω]為電壓的頻率，則：
[x=pλm0tAsin(ωt)sin[λ(t-t)]dt=pA2λm0t[cos((ω+λ)t-λt)-cos((ω-λ)t+λt)]dt](2)
當(dāng)[ω≠λ]時，由式(2)得：
[x=pA2λmsin(ωt)+sin(λt)ω+λ-sin(ωt)-sin(λt)ω-λ=pAλmωsin(λt)-λsin(ωt)ω2-λ2]
當(dāng)[ω=λ]時，由式(2)得：
[x=pA2λm0t[cos(2λt-λt)-cos(λt)]dt=pA2λmsin(λt)+sin(λt)2λ-tcos(λt) =pA2λ2msin(λt)-pA2λmtcos(λt)]
因此：
[x=pAωm(ω2-λ2)(cos(λt)-cos(ωt))，ω≠λpA2mtsin(λt)，ω=λ] (3)
由于：
[limω→λpAωm(ω2-λ2)(cos(λt)-cos(ωt))=pAωtsin(ωt)2mω=pAtsin(ωt)2m]
因此等式(3)給出的壓電陶瓷速度[x]在[ω=λ]處為可去不連續(xù)點，采用等式(3)的定義之后在區(qū)間[(0，+∞)]內(nèi)是連續(xù)的，而且，對于任何確定的時間[t]和頻率[ω(2π)，]它與輸入電壓的幅值成線性關(guān)系。
3、頻率與速度的關(guān)系
對于任何確定的時間[t，]由于式(3)給出的曲線是一條連續(xù)曲線，因此在曲線：
[x=pAωm(ω2-λ2)(cos(λt)-cos(ωt))]
上找出有限個[ω≠λ]的點，只要這些點足夠稠密，連接這些點的曲線就可以反映頻率與速度的關(guān)系。
以邊長為[L=]0.1 m的正方體壓電陶瓷為例，設(shè)
[Ec=6.6×1010][Nm2，][d31=24.5×10-12][mV，][tc=0.1]m，[A=10，]并設(shè)載荷重量為1 kg，則可以求得：
[m=100，][n=EcL=66×1010，][p=Ecd31L=16.17，][λ=nm]=81 240。
固定[t=1，]頻率與驅(qū)動器速度的關(guān)系曲線如圖2所示。
圖2 頻率與驅(qū)動器速度的關(guān)系
曲線達(dá)到峰值的頻率為：
[λt(2π)=12 936 Hz]
對于不同的時間[t，]曲線達(dá)到峰值的頻率將發(fā)生改變。隨著時間[t]的增大，曲線的波動頻率[t(2π)]也將增大。
4、結(jié) 論
綜上所述，對于任何固定的時間[t]，壓電驅(qū)動器的速度與輸入電壓的幅值成線性關(guān)系;頻率與驅(qū)動器速度的關(guān)系是一條幅值不斷變化的連續(xù)余弦曲線，曲線的峰值在[λt(2π)]處達(dá)到，余弦曲線的頻率為[t(2π)。]隨著時間[t]的增大，曲線的峰點逐步遠(yuǎn)離縱坐標(biāo)軸，余弦曲線的頻率也將增大。
由圖2可以看出，電壓頻率與驅(qū)動器速度的關(guān)系是比較復(fù)雜的，通過一些實驗數(shù)據(jù)點根本無法找到曲線的極值點，特別是隨著時間[t]的增加余弦曲線的頻率也逐步增大，在同樣的頻率區(qū)間內(nèi)極值點也逐步增加。借助應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系導(dǎo)出的解析式，可以準(zhǔn)確地反映驅(qū)動器速度隨頻率的變化過程，克服實驗數(shù)據(jù)測量干擾對實驗結(jié)論的影響。通過實驗數(shù)據(jù)對應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式中的參數(shù)進(jìn)行辨識，再利用經(jīng)參數(shù)辨識后的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式研究壓電驅(qū)動器電壓及其頻率對驅(qū)動速度的影響是一個需要進(jìn)一步研究的問題
參考文獻(xiàn)
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[3] SUN D， MILLS J K， SHAN J J， et al. A PZT actuator control of a single?link flexible manipulator based on linear velocity feedback and actuator placement [J]. Mechatronics， 2004， 14(4)： 381?401.
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