地理空間的數(shù)學(xué)定義及定位型地圖符號的制約因素分析

【摘　要】 在地心坐標(biāo)系中定義地球橢球面的基礎(chǔ)上，給出了空間的定義。根據(jù)拓?fù)鋵W(xué)中的同胚映射，覆蓋空間等理論，推導(dǎo)了制圖區(qū)域、地圖投影、制圖物體及其在橢球面和地圖平面上的定位等概念，通過對地圖符號平面定位的單一性與其對應(yīng)的制圖物體性質(zhì)多樣性的分析，揭示了同一平面位置上可以依制圖目的的不同而分別表示多種事物的性質(zhì)或量值的基本原理，闡釋了對同一制圖區(qū)域進(jìn)行多專題制圖的客觀條件和基礎(chǔ)。
【關(guān)鍵詞】 地心坐標(biāo)系 地球橢球 地理空間 制圖區(qū)域 制圖物體 地圖符號

　　地理系統(tǒng)研究人類賴以生存與生活和影響所及的整個自然與環(huán)境^[1]。人類為了生存和發(fā)展的需要，必須以各種技術(shù)手段，采集和獲取地理空間的相關(guān)信息�，F(xiàn)代測繪學(xué)，是信息科學(xué)的一個分支，是獲得物體的空間位置和屬性信息^[2]。地圖作為空間信息的一種載體，它通過人們創(chuàng)設(shè)的地圖符號集合，能把制圖區(qū)域內(nèi)復(fù)雜的空間存在壓縮為二維的簡單關(guān)系，從而使廣域空間內(nèi)的自然現(xiàn)象和社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的空間分布、地理特征和相互關(guān)系躍然紙上。二維地圖是人類認(rèn)識上的飛躍，是人類原始思維向抽象化發(fā)展的結(jié)果^[3]。地圖總涉及到地理空間、制圖區(qū)域和制圖物體等基本概念。在現(xiàn)行的大中專教材及有關(guān)地圖學(xué)文獻(xiàn)中，尚未見這些基本概念的數(shù)學(xué)定義，因而不能從理論的高度對其概括和闡釋。本文是筆者對地理空間、制圖區(qū)域、制圖物體數(shù)學(xué)定義的研究及其關(guān)聯(lián)的地圖符號的數(shù)學(xué)分析。
　　1 地理空間事物的橢球面定位
　　1.1 地心坐標(biāo)系
　　以地球質(zhì)心為大地坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)系，即地心坐標(biāo)系。這種坐標(biāo)系統(tǒng)是闡明地球上各種地理和物理現(xiàn)象，特別是空間物體運(yùn)動的本始參考系。但長期以來，由于人類不能精確確定地心的位置，因而較少使用。目前利用空間技術(shù)等手段，已可在cm量級上確定它的位置，因此采用地心坐標(biāo)系在當(dāng)今既有必要性也有了可能性。現(xiàn)在利用空間技術(shù)得到的定位和影像等成果，客觀上都是以地心坐標(biāo)系為參照系^[4]。使用地心坐標(biāo)系，在國際上已成為一種明顯的趨勢。
　　地球空間事物的定位，涉及地球的形狀和一定的坐標(biāo)系。全球范圍內(nèi)，可用地心大地坐標(biāo)系和地心笛卡爾坐標(biāo)系表示點(diǎn)的空間位置。
　　1.1.1 地球橢球
　　大地水準(zhǔn)面包圍的地球形體比較接近真實(shí)的地球形狀，但仍是一個有100m起伏幅度的復(fù)雜曲面，不能用簡單的數(shù)學(xué)方程表示，更難以在此面上進(jìn)行簡單而又精密的坐標(biāo)和幾何計(jì)算^[5]。為此，測繪科學(xué)中常以一個接近地球整體形狀的旋轉(zhuǎn)橢球代替真實(shí)的地球形體，這個旋轉(zhuǎn)橢球稱為參考橢球。在現(xiàn)代大地測量中，規(guī)定參考橢球是等位橢球或水準(zhǔn)橢球，即參考橢球與正常橢球一致。一個等位旋轉(zhuǎn)橢球由四個常數(shù)定義，這四個常數(shù)常是赤道半徑a，地心引力常數(shù)GM，動力形狀因子J2，旋轉(zhuǎn)速度ω�？紤]到便于利用GPS與國際兼容，我國建議采用參考橢球：a=6378137m；f=1∶298.257222101；GM=3986004.418×；ω=7292115×。根據(jù)這四個常數(shù)，可以得出一系列導(dǎo)出常數(shù)^[6]。根據(jù)地球的扁率f，可以求出橢球短半徑b，從而可用數(shù)學(xué)方程表示一個已知長半徑a和短半徑b的橢球。
　　1.1.2 地心大地坐標(biāo)系DL
　　地心大地坐標(biāo)系是使地球質(zhì)心作橢球中心，以過所求點(diǎn)c的橢球面法線與赤道面的夾角φ為緯度，以過c點(diǎn)的子午面與初始子午面的二面角λ為經(jīng)度，以c點(diǎn)沿法線到橢球面的距離為大地高h(yuǎn)，用c點(diǎn)的三個分量φ、λ、h表示其空間位置。地心大地坐標(biāo)也即三維地理坐標(biāo)系，記作DL。對于任何地球空間點(diǎn)c，總存在c=（φ、λ、h）∈DL|φ[0°～±90°]， λ∈[0°～±180°]，h∈[-H～+H]。已知地球橢球的長半徑a和短半徑b，可定義橢球面。
　　定義1　 地球橢球面 對c∈（φ、λ、h）∈DL，存在c1=（0°，λ，O）， c2 =（0°，-λ，O），c3 =（90°，λ，O），c4=（-90°，λ，O）∧d1（c1，c2）/2=a∧d2（c3，c4）/2=b，若點(diǎn)集滿足：
　　S={c|c=（φ、λ、h）∈DL，φ∈[0°～±90°]，λ∈[0°～±180°]，h=0} （1）
　　則稱S為以a為長半徑，b為短半徑的橢球面。若a，b分別為地球參考橢球的長、短半徑，則稱S為地球橢球面。
　　1.1.3 地心笛卡爾坐標(biāo)系DK
　　以地心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，選擇一個以赤道平面上一組相互垂直的直線為X、Y軸，而以地軸為Z軸，這樣的坐標(biāo)系稱地心笛卡爾坐標(biāo)系，記作DK。若以地球參考橢球的長半徑a和短半徑b作常數(shù)，則地球橢球面也可定義。

　　定義2　 地球橢球面 存在地球橢球的長半徑a和短半徑b，若點(diǎn)集滿足：
　　S=｛c|c=（x，y，z）∈DK∧ =1｝　　　　 （2）
　　則稱S為以a為長半徑，b為短半徑的地球橢球面，其中2b即地軸兼旋轉(zhuǎn)軸^[7]。
　　1.2 地理空間
　　地理科學(xué)研究的對象是地球的表層，具體地講，上至同溫層底部，下到巖石圈的上部，指陸地住下5～6公里，海洋往下4公里。設(shè)地球表層的上限為H1，下限為H2，從而得h的定義域（適用于“地球表層”概念）為h∈[-H2，H1]。根據(jù)h的取值，以h=0的橢球面為界面，可定義地球內(nèi)空間和外空間。
　　定義3　 地球內(nèi)空間 滿足條件
　　IntK=｛P|P=（φ，λ，h）∈DL∧-H2≤h＜O｝ 　�。�3）
　　的點(diǎn)集，稱為地球內(nèi)空間。
　　地球內(nèi)空間即指巖石圈頂部至地球橢球面之間部分。由橢球面與真實(shí)地球表面之間的差異，因此存在雖在地表之上卻因其處于橢球面內(nèi)側(cè)而屬于地球內(nèi)空間的點(diǎn)集。
　　定義4 　地球外空間 滿足條件
　　ExtK=｛P|P=（φ，λ，h）∈DL∧O＜h≤H1｝　　　 （4）
　　的點(diǎn)集，稱為地球外空間。
　　地球外空間即是地球橢球面到同溫層底部的空間。由于橢球面與自然面之間的差異，同樣存在雖在地表之下卻因處于橢球面外側(cè)而屬地球外空間的點(diǎn)集。
　　定義5 　地理空間 地球內(nèi)空間EntK、地球橢球面S和地球外空間EntK的并集，稱為地理空間，即
　　K=EntK∪S∪ExtK|EntK，S，ExtK∈DL　　　　　 （5）
　　由于地理空間的上下限H1和-H2的選擇與地球表層概念相適應(yīng)，因此，地理空間的定義也就是地球表層的數(shù)學(xué)表述。
　　2 制圖區(qū)域和制圖物體
　　2.1 同胚
　　定義6 　同胚 設(shè)X和Y是兩個隨意的拓?fù)淇臻g，并設(shè)f：X→Y。如果f是連續(xù)的雙一一函數(shù)，并且它的反函數(shù)f ^-1也是連續(xù)的，那么，f就叫做空間X到空間Y上的同胚或拓?fù)溆成浠蛲負(fù)渥儞Q；此時空間X與空間Y叫做同胚的，記作X≈Y。
　　如果f是空間X到空間Y上的一個同胚，AX，并且B=f（A），則稱點(diǎn)集A與點(diǎn)集B是同胚的，記作A≈B；此時又稱點(diǎn)集B是點(diǎn)集A在同胚f之下的同胚象或拓?fù)湎�。如果f是空間X到空間Y上的一個同胚，g是空間Y到空間Z上的一個同胚，則復(fù)合函數(shù)gf是X到Z上的一個同胚�？臻g的同胚關(guān)系≈是一個等價關(guān)系^[5]。地貌等高線圖形，也就是其上覆地貌的同胚象^[6]。
　　2.2 覆蓋空間
　　定義7　 覆蓋空間 設(shè)E和B是連通且局部道路連通的拓?fù)淇臻g，f∶Ｅ→Ｂ是連續(xù)滿射，如果對于每個c∈Ｂ，存在c的道路連通開域U，使得ｆ把ｆ ^-1（U）的每個通路連通分支同胚地映射成U，則稱（E，ｆ）是Ｂ的覆蓋空間，這種U稱為容許鄰域，Ｂ稱為底空間，ｆ稱為覆蓋投影^[10，11]。
　　2.3 制圖區(qū)域和制圖物體
　　2.3.1 橢球面上點(diǎn)c與過c點(diǎn)的橢球面法線ｈC的雙一一函數(shù)關(guān)系
　　設(shè)c為橢球面Ｓ上的任意點(diǎn)，c∈S，過c點(diǎn)能且僅能作一條法線ｈC指向地理空間Ｋ。由于大地高ｈ以橢球面為起算面，故地球外空間ExtK=｛ｈC|0＜ｈC≤Ｈ1｝，地球內(nèi)空間IntK=｛ｈC|-H2≤ｈC＜0｝。顯然，地球空間的橢球面法線hC與橢球面上的投影點(diǎn)c是雙一一函數(shù)。現(xiàn)把覆蓋空間定義應(yīng)用于地球外空間ExtK與地球橢球面S：令覆蓋定義中的E=ExtK，B=S，f是連續(xù)滿射，c∈S，|f ^-1（c）=hC∈ExtK，這里S是底空間，（f， ExtK）是S的覆蓋空間，f為 覆蓋投影，c是hC在f下的同胚象或拓?fù)湎蟆Ｍ�理可說明地球內(nèi)空間與地球橢球面的關(guān)系。
　　2.3.2 制圖區(qū)域和制圖物體的橢球面定位
　　定義8 　制圖區(qū)域 設(shè)A為S的子集，AS，如果A是S中一個連通的開集，那末，A就叫做S中的一個區(qū)域。點(diǎn)c∈A，c的鄰域U的原象f ^-1（U） ∈f ^-1（A）被作為制圖對象時，則稱f ^-1（U）為制圖物體。f ^-1（A）在橢球面上的投影A稱為制圖區(qū)域。c的鄰域U在球面上的外在特征有三種：
　　1） 當(dāng)U=c為單一點(diǎn)時，稱c為f ^-1（U）的點(diǎn)狀定位；
　　2） 當(dāng)U=lC，lC表現(xiàn)為線狀連通集時，稱lC為f ^-1（U）的線狀定位；
　　3） 當(dāng)U=SC，SC表現(xiàn)為面狀連通集時，稱SC為f ^-1（U）的面狀定位。
　　空間中的物體f ^-1（U）在橢球面上的定位形式關(guān)聯(lián)著它在地圖平面上的定位形式并決定著其關(guān)聯(lián)的地圖符號的類型。

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