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基于改進(jìn)的BPR路段阻抗函數(shù)研究城市道路交通阻抗
摘 要: 在交通分配的過(guò)程中，目前廣泛采用的路阻函數(shù)是美國(guó)公路局提出的 BPR 函數(shù)， 但在實(shí)際應(yīng)用中推薦的 BPR 參數(shù)得到的結(jié)果并不符合實(shí)際，而且在城市道路交通分配的交 通阻抗模型研究中，很少考慮到交叉口作為一個(gè)節(jié)點(diǎn)阻抗對(duì)模型的影響。在文獻(xiàn)[1]中，作 者推導(dǎo)了路段流量和路段通行時(shí)間之間的關(guān)系式，比較了 BPR 函數(shù)和推導(dǎo)關(guān)系式之間的差 異，并提出了較好的擬和方程。本文在此基礎(chǔ)上注重了交叉口在研究交通阻抗中的重要性， 將改進(jìn)的路阻函數(shù)和本文提到的節(jié)點(diǎn)函數(shù)結(jié)合在一起， 運(yùn)用多元線性回歸分析方法研究城市 道路交通阻抗，這對(duì)于研究城市道路交通分配中的交通阻抗函數(shù)有著重要的意義。
關(guān)鍵詞：改進(jìn)的 BPR 函數(shù);交通阻抗;節(jié)點(diǎn)阻抗;多元線性回歸分析
1 問(wèn)題的提出
交通阻抗包括路段阻抗和節(jié)點(diǎn)阻抗，在交通分配中交通阻抗作為一個(gè)重要因素被研究 人員重視。所謂阻抗就是指車輛在路網(wǎng)中未能按照理想的狀態(tài)運(yùn)行而造成的損失費(fèi)用總和， 阻抗分為路段阻抗和節(jié)點(diǎn)阻抗， 節(jié)點(diǎn)阻抗主要是指車輛在交叉口處造成的損失費(fèi)用。 由于交 叉口處有流向不確定等因素， 大多數(shù)只考慮路段阻抗， 將交叉口作為節(jié)點(diǎn)阻抗研究的并不多。 但是在實(shí)際的城市道路中，交叉口的寬度占所有道路的 5%以上[ 2]。它的影響程度更會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò) 5%，所以研究交叉口的尺寸、車道分配、綠信比等在節(jié)點(diǎn)阻抗中的作用是非常必要的。 路段阻抗函數(shù)在交通分配中起到至關(guān)重要的作用， 和節(jié)點(diǎn)阻抗函數(shù)一起決定著分配過(guò)程中路 徑的選擇。在 BPR 函數(shù)中包含了 α 和 b 兩個(gè)參數(shù)，美國(guó)公路局的推薦使用值分別為 0.15 和 4。文獻(xiàn)[1]詳細(xì)論述了改進(jìn)的 BPR 函數(shù)的推導(dǎo)及應(yīng)用，并在實(shí)例檢驗(yàn)中有較好的結(jié)果。所 以本文的交通阻抗函數(shù)的路段函數(shù)部分直接引用改進(jìn)的 BPR 函數(shù)。
2 路段行駛時(shí)間和流量關(guān)系的推導(dǎo)
u(K ) = u f ? uf Kj
[ 3]、 ] Greenshields 在 1963 年提出了描述速度-密度關(guān)系的線性表達(dá)式
K
(1)
又知速度、流量、密度之間的關(guān)系式
q =u?K
式中，u 為路段行車速度;
(2)
uf
為自由流時(shí)的路段行駛速度;K 為路段車流密度;
Kj
為
路段擁堵至車流速度為零時(shí)的密度; q 為路段車流量。 由式(1) (2)可以得到車流和密度的關(guān)系式
q( K ) = u f K ?
uf Kj
K2
(3)
dq 1 1 =0 u = uf K = Kj 2 ， 2 時(shí)，式(3)有最大值 上述表達(dá)式令 dk ，得當(dāng)
C=
1 uf Kj 4
(4)
式(4)中， C 稱之為路段的通行能力。 將速度-密度表達(dá)式(1)化作
K=
Kj uf
(u f ? u )
(5)
將表達(dá)式(5)代入流量和密度的關(guān)系式(3)并化簡(jiǎn)得到流量-速度表達(dá)式
q=?
Kj uf
u 2 + K ju
(6)
假定某路段 a 的長(zhǎng)度為 l ，則有
t0 =
l uf
u=
，
l t
(7)
式中，
t 0 為自由流狀態(tài)下路段 a 的行駛時(shí)間。
2
將表達(dá)式(7)代入流量和速度的關(guān)系式(6)可得
2 2 ? l ? K j ? l ?2 l ? ? ? K j u f ? l ? + l ? K j u f ? l ? = ?4C ? t 0 ? + 4C t 0 q=? ? ? ? ? + K j = ?? ? ? ? ? ? uf ?t ? t uf t ?t ? ?t ? ?t ? ?uf ?
(8)
t0 將上式(8)看作 t 的一元二次方程，解之得到 t0 1 1 q = ± 1? t C 2 2
(9)
進(jìn)一步變形可得到路段流量和路段行駛時(shí)間的關(guān)系式
? ? 2 t = t0 ? ? q ?1± 1? C ?
? ? ? ? ? ?
(10)
t q t 0 為縱坐標(biāo)，以 C 為橫坐標(biāo)對(duì)公式(10)繪 為方便起見，稱公式(10)為推導(dǎo)式。以
圖，見圖 1。
t/t
0
1
2 q/c
圖1 路段流量-行駛時(shí)間關(guān)系圖
圖 1 中曲線分為①②兩個(gè)部分， ①部分對(duì)應(yīng)公式 (10) 中的 + 號(hào)， ②部分對(duì)應(yīng)公式 (10) 中的 - 號(hào)。 圖 1 中①部分表示當(dāng)流量由 0 開始增大時(shí)，路段上的速度逐漸減小，通過(guò)路段的時(shí)間
q =1 隨之增長(zhǎng)，當(dāng)流量達(dá)到路段通行能力時(shí)(即 c 時(shí)) ，路段流量達(dá)到最大，此時(shí)對(duì)應(yīng)最佳
車流密度和最佳車速;當(dāng)車流密度繼續(xù)增大時(shí)，如圖中②部分所示，由于擁擠效應(yīng)，車速開
始減小，通過(guò)路段的時(shí)間開始增大，當(dāng)車流密度達(dá)到 過(guò)路段的時(shí)間理論上為無(wú)限長(zhǎng)。
Kj
q =0 時(shí)，路段流量為 0(即 c ) ，通
3 拋物線擬合及改進(jìn)的 BPR 路段阻抗函數(shù)
BPR 函數(shù)是美國(guó)公路局(U.S. Bureau of public Roads)通過(guò)大量路段進(jìn)行交通調(diào)查，回歸 分析得到的一個(gè)公式，通過(guò)路段 a 的時(shí)間和路段上流量的存在以下關(guān)系
β ? ?q? ? t = t ?1 + α ? ? ? ?C ? ? ? ? ?
0
(11)
美國(guó)公路局推薦使用參數(shù) α = 0.15 和 β = 4 。
t q t 同樣以 0 為縱坐標(biāo)，以 C 為橫坐標(biāo)對(duì)式(11)進(jìn)行繪圖，見圖 2。
比較可以看出，推導(dǎo)式與 BPR 函數(shù)存在很大差異，可以對(duì)推導(dǎo)式曲線進(jìn)行擬合，以重 新得到路阻函數(shù)或 BPR 函數(shù)參數(shù)，具體擬合過(guò)程請(qǐng)參看文獻(xiàn)[1]。最后
t/t
0
q/c
圖2
q3 q2 q 0.2404 + 0.5305 ? 0.0393 C C C
函數(shù)曲線
[1]
得到路段通行時(shí)間與路段流量之間的擬合關(guān)系式
。
t =e t0
(12)
將公式(11)進(jìn)行變形
? ?t ?q? ln? ? 1? = ln α + β ln? ? ? ?t ?C ? ? ? 0
(13)
? ?t ?q? y = ln? ? 1? x = ln? ? ? ?t ? ， b = ln α ， ? 0 ? C ? ，將式(13)線性化 令 y = b + βx (14)
利用式(14)對(duì)推導(dǎo)式曲線的非擁擠部分進(jìn)行擬合，擬合效果與實(shí)際相符。得擬合方
2 程 y = 1.4434 x ? 0.5677 ，相關(guān)系數(shù) R = 0.9497 。于是，α = 0.5668 ， β = 1.4431 。因
此擬合得到 BPR 函數(shù)為
1.4431 ? ? ?q? t = t 0 ?1 + 0.5668? ? ? ?C ? ? ? ? ?
(15)
4 節(jié)點(diǎn)阻抗函數(shù)模型的研究與建立
由于交叉口處存在的流量流向不確定等因素，在大多數(shù)交通阻抗的研究中，節(jié)點(diǎn)阻抗 研究相對(duì)較少， 不過(guò)它是實(shí)際存在的， 且不能忽略。 在城市道路交通分配的交通阻抗分析中， 交叉口阻抗(節(jié)點(diǎn)阻抗)是主要的，其影響要大于路段阻抗，如果只考慮路段阻抗分配得到 的結(jié)果與實(shí)際情況會(huì)相差很多。 影響節(jié)點(diǎn)阻抗的因素有很多，主要有平面交叉口是否由信號(hào)燈控制、有信號(hào)燈控制的 交口某方向的綠信比、 交叉口尺寸及進(jìn)口道車道數(shù)、 有無(wú)方向禁行、 有無(wú)自行車專用車道 (機(jī) 非是否分離)等。為了便于研究和便于將節(jié)點(diǎn)阻抗函數(shù)同改進(jìn)的 BPR 函數(shù)的有效結(jié)合成交 通阻抗函數(shù)，下面將這些影響節(jié)點(diǎn)阻抗的因素運(yùn)用多元線性回歸模型[ 4]的方法得到車輛在交叉口的行車延誤(包括停車延誤) 。
t 2 = b0 + b1 x1 + b2 x 2 + L + b j x j
i i i i i i i
i
，
t2 = ∑ t2
i =1
n
i
(16)
式(16)中， t 2 是車輛在路段的第 i 個(gè)交叉口上的行車延誤;
i
t 2 是車輛在路段的 n 個(gè)交叉口上的行車延誤總量
; (注： t1 是該路段的路段阻抗值，以下述)
? ?1i , 第i個(gè)交叉口有信號(hào)燈控制 x1 = ? i ?ν 1 ，第i個(gè)交叉口無(wú)信號(hào)燈控制 ;
i
? g i ? K , 第i個(gè)交叉口有信號(hào)燈控制 i x2 = ? 2 ? K，第i個(gè)交叉口無(wú)信號(hào)燈控制 ;
; (注： K 是一固定值， g 2 是第 i 個(gè)信號(hào)交叉口路段方向的綠信比)
i
x3
i
是第 i 個(gè)交叉口尺寸; (注：?jiǎn)挝唬?m )
2
x 4 是第 i 個(gè)交叉口路段方向上的進(jìn)口道車道數(shù); ? φ5 i , 第i個(gè)交叉口有方向禁行 x5 = ? i ?? 5 ，第i個(gè)交叉口無(wú)方向禁行 ;
i
i
? λ i , 第i個(gè)交叉口有自行車專用車道 i x6 = ? 6i ?π 6 ，第i個(gè)交叉口無(wú)自行車專用車道 ;
b0
i
是車輛在路段的第 i 交叉口上的平均停車延誤; 是 t2 對(duì)
i
bj
i
xj
i
的回歸系數(shù);
i = 1,2,L , n ， j = 1,2,L ,6 。
i i i i i i i i x x x b b 通過(guò)交通調(diào)查收集 t 2 、 x1 、 x 2 、 3 、 x 4 、 5 、 6 的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，擬合得到 0 、 j ( i = 1,2, L , n ， j = 1,2,L ,6 )的值。將得到的回歸系數(shù)代入式(16)中，即得節(jié)點(diǎn)阻抗 i
函數(shù)的模型表達(dá)式。
5 交通阻抗函數(shù)模型的研究
在城市道路交通阻抗中，路段阻抗與節(jié)點(diǎn)阻抗的貢獻(xiàn)量隨著路況的變化而發(fā)生改變， 所以不能將它們簡(jiǎn)單的相加就得到交通阻抗值。這里引入一個(gè)參數(shù) B ，交口數(shù)/千米，即
B=
n l ，其中 n 為路段 L 上的交口數(shù)，l 為路段 L 的長(zhǎng)度。下面用線性方程來(lái)定義出城市道
路交通阻抗公式：
B ? ? t = A? t1 + t 2 ? 2 ? ?
將式(15)(16)代入上式可得： 、
1.4331 ? ? ? B n i? ? ? ?q? t = A?t 0 ?1 + 0.5668? ? ? + ∑ t2 ? ?C ? ? ? ? 2 i =1 ? ? ? ? ?
(17)
(18)
式(18)中，
t 0 為自由流狀態(tài)下車輛在路段上的行駛時(shí)間;
∑t
i =1
n
i 2
= ∑ (b0 + b1 x1 + b2 x 2 + L + b j x j )
i i i i i i i i =1
n
;
A 為待定系數(shù)。
6 結(jié)束語(yǔ)
本文在研究交通阻抗函數(shù)模型中借鑒了文獻(xiàn)[1]中的 “改進(jìn)的路段阻抗函數(shù)公式” 不僅 ， 吸取了美國(guó)公路局 BPR 函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，又更符合我國(guó)當(dāng)前的城市道路現(xiàn)狀。在節(jié)點(diǎn)阻抗函數(shù) 和交通阻抗函數(shù)的研究中， 本篇論文開創(chuàng)性的提出了運(yùn)用多元線性回歸模型來(lái)解決交叉口節(jié) 點(diǎn)阻抗問(wèn)題。將信號(hào)控制、交叉口尺寸、綠信比、方向禁行等主要影響因素綜合考慮，最后 給出了城市道路交通阻抗函數(shù)模型，體現(xiàn)了總體思考的研究方法。 但由于研究面臨的現(xiàn)實(shí)困難，沒有用實(shí)例來(lái)研究說(shuō)明公式(18)的實(shí)用性和可靠性， 式中大量的回歸系數(shù)、待定系數(shù)沒有用調(diào)查數(shù)據(jù)加以擬合。另外，各影響因素之間的相互影 響沒有予以充分研究， 如何回避回歸系數(shù)的負(fù)相關(guān)性也有待于進(jìn)一步深入研究。 以上問(wèn)題仍 需廣大交通同仁共同參與研究解決!
參考文獻(xiàn)
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[2] 張渭軍，王華. 城市道路最短路徑的 Dijkstra 算法優(yōu)化.西安. 長(zhǎng)安大學(xué).地球科學(xué)與國(guó)土資源學(xué)院.1671-8879(2005)06-0062-04.
[3] 王煒，過(guò)秀成.《交通工程學(xué)》 ，2000，東南大學(xué)出版社.
[4] 劉舒燕.《交通運(yùn)輸系統(tǒng)工程》 ，1997，人民交通出版社.
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