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關(guān)于三角教材與教法的新思考
1998年4月21日，國(guó)家教育部專門調(diào)整了高中數(shù)學(xué)的部分教學(xué)內(nèi)容，其中的調(diào)整意見(jiàn)第(7)條為：“對(duì)三角函數(shù)中的和差化積、積化和差的8個(gè)公式，不要求記憶�！痹俾�(lián)想到1998年全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷中，已盡可能減少了這8個(gè)公式的出現(xiàn)次數(shù)，在僅有的一次應(yīng)用中，還將公式印在試卷上，以供查閱，而當(dāng)時(shí)調(diào)整意見(jiàn)尚未生效（應(yīng)在1999年生效）。這不能不說(shuō)對(duì)和積互化的8個(gè)公式（以下簡(jiǎn)稱“8公式”）的要求是大大降低了。
但是，這次調(diào)整的，難道僅僅是8個(gè)公式嗎？如果認(rèn)為僅僅是降低了對(duì)8公式的要求，那就太表面、太膚淺了。
我們知道，和積互化歷來(lái)是三角部分的重點(diǎn)內(nèi)容之一。相當(dāng)部分的三角題都是圍繞它們而設(shè)計(jì)的，它們也確實(shí)在很大程度上體現(xiàn)了公式變形的技巧和魅力�，F(xiàn)在，要求降低了，有關(guān)的題目已不再適合作為例（習(xí)）題選用了。這樣一來(lái)，
三角部分還要我們教些什么？又該怎樣教？立刻成了部分教師心頭的一大困惑。
有鑒于此，我認(rèn)為很有必要重新審視這部分的知識(shí)體系，理清新的教學(xué)思路，以便真正落實(shí)這次調(diào)整的意見(jiàn)，實(shí)現(xiàn)“三個(gè)有利于”（有利于減輕學(xué)生過(guò)重的課業(yè)負(fù)擔(dān)，有利于深化普通高中的課程改革，有利于穩(wěn)定普通高中的教育教學(xué)秩序）
的既定目標(biāo)。
一、是“三角”還是“函數(shù)”
應(yīng)當(dāng)說(shuō)，三角函數(shù)是由“三角”和“函數(shù)”兩部分知識(shí)構(gòu)成的。三角本是幾何學(xué)的衍生物，肇始于古希臘的希帕克，經(jīng)由托勒玫、利提克思等。至歐拉而終于成為一門形態(tài)完備、枝繁葉茂的古典數(shù)學(xué)學(xué)科。歷史上的很長(zhǎng)一段時(shí)期，只有《
三角學(xué)》盛行于世，卻無(wú)“三角函數(shù)”之名。
“三角函數(shù)”概念的出現(xiàn)，自然是在有了函數(shù)概念之后，從時(shí)間上看距今不過(guò)300余年。但是，此概念一經(jīng)引入，立刻極大地改變了三角學(xué)的面貌。特別是經(jīng)過(guò)羅巴切夫斯基的開(kāi)拓性工作。致使三角函數(shù)可以完全獨(dú)立于三角形之外，而成
為分析學(xué)的一個(gè)分支，其中的角也不限于正角，而是任意實(shí)數(shù)了。有的學(xué)者甚至認(rèn)為可將它更名為角函數(shù)，這是有見(jiàn)地的。
所以，作為一門學(xué)科的《三角學(xué)》已經(jīng)不再獨(dú)立存在�，F(xiàn)行中學(xué)教材也取消了原來(lái)的《代數(shù)》、《三角》、《幾何》的格局，將三角并入了代數(shù)內(nèi)容。這本身即足以說(shuō)明“函數(shù)”在“三角”中應(yīng)占有的比重。
再?gòu)摹洞鷶?shù)學(xué)》的歷史演變來(lái)看，在相當(dāng)長(zhǎng)的歷史時(shí)期內(nèi)，“式與方程”一直是它的核心內(nèi)容，那時(shí)的教材都是圍繞著它們展開(kāi)的。所以，書中的分式變形、根式變形、指數(shù)式變形和對(duì)數(shù)式變形可謂連篇累牘、所在皆是。這是由當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平?jīng)Q定的。而現(xiàn)在，函數(shù)已取代了式與方程成為代數(shù)的核心內(nèi)容，比起運(yùn)算技巧和變形套路來(lái)，人們更關(guān)注函數(shù)思想的認(rèn)識(shí)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值。1963年頒布的《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》提出數(shù)學(xué)三大能力時(shí)，首要強(qiáng)調(diào)的是“形式演算能力”，1990年的大綱突出強(qiáng)調(diào)的則是“邏輯思維能力”。現(xiàn)行高中《代數(shù)》課本中，充分闡發(fā)了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及應(yīng)用，對(duì)這三種代數(shù)式的變形卻輕描淡寫。
所以，三角函數(shù)部分應(yīng)重在“函數(shù)的圖象和性質(zhì)”是無(wú)疑的，這也是國(guó)際上普遍認(rèn)可的觀點(diǎn)（下文還將述及）。
現(xiàn)行高中《代數(shù)》的三角函數(shù)部分，也單列了一章專講“三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)”，這是與數(shù)學(xué)發(fā)展的潮流相一致的。但若提起三角函數(shù)，大多數(shù)師生頭腦中反映出來(lái)的，還是“眾多的公式，紛繁的變換”，而三角函數(shù)的“圖象和性質(zhì)”倒是在其次的。這一點(diǎn)，與前面所述的“冪、指、對(duì)”函數(shù)有著極大的反差，恐怕也與編者的意圖大相徑庭。個(gè)中緣由固然與三角本身多公式有關(guān)，其中和積互化8公式的干擾作用尤其明顯。8公式形式類似，記憶也屬不易，變形尤難把握，是師生教與學(xué)的共同難點(diǎn)。為此反復(fù)記憶、題海操練實(shí)所難免。
調(diào)整以后，降低這部分的要求，大面積地減少了題量，目標(biāo)中“第一和第三”兩個(gè)有利于是可以實(shí)現(xiàn)的。但另一個(gè)（有利于深化課程改革）該如何理解呢？把“函數(shù)”作為關(guān)鍵詞，將目光放在“圖象和性質(zhì)”上，應(yīng)當(dāng)是正確的選擇，負(fù)擔(dān)輕
了，障礙小了，這更方便于我們將注意力轉(zhuǎn)移到對(duì)函數(shù)圖象和性質(zhì)的關(guān)注上，這才是“三個(gè)有利于”得以貫徹的根本。
二、國(guó)外的觀點(diǎn)及啟示
下面來(lái)看一下美國(guó)和德國(guó)的觀點(diǎn)：
美國(guó)沒(méi)有全國(guó)統(tǒng)一的教材和《考試說(shuō)明》，只有一個(gè)《課程標(biāo)準(zhǔn)》，在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中，他們對(duì)三角函數(shù)提出了下面的要求：
會(huì)用三角學(xué)的知識(shí)解三角形；會(huì)用正弦、余弦函數(shù)研究客觀實(shí)際中的周期現(xiàn)象；掌握三角函數(shù)圖象；會(huì)解三角函數(shù)方程；會(huì)證基本的和簡(jiǎn)單的三角恒等式；懂得三角函數(shù)同極坐標(biāo)、復(fù)數(shù)等之間的聯(lián)系。
他們還特別指出：不要在推導(dǎo)三角恒等式上花費(fèi)過(guò)多的時(shí)間。只要掌握一些簡(jiǎn)單的恒等式推導(dǎo)，如：之類就可以了。比較復(fù)雜的恒等式如之類，就應(yīng)該完全避免了。
德國(guó)在10到12年級(jí)（相當(dāng)于中國(guó)的高一到高三）每年都有三角內(nèi)容。10年級(jí)要求如下：
(1)一個(gè)角的弧度。
(2)三角函數(shù)sinx·cosx·tgx和它們的圖象周期性。
(3)三角形中角和邊的計(jì)算。
(4)重要關(guān)系（特指同角三角函數(shù)的平分關(guān)系、商數(shù)關(guān)系和倒數(shù)關(guān)系——筆者注）。
另外，在11年級(jí)和12年級(jí)的“無(wú)窮小分析”中，繼續(xù)研究三角函數(shù)的圖象變換、求導(dǎo)、求積分、求極限。
從以上羅列，我們可以看出下面的共同點(diǎn)：
第一，突出強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)。
第二，淡化三角式的變形，僅涉及同角變換。而且要求較低；8公式根本不予介紹。
第三，明確變換的目的是為了三角形中的實(shí)際計(jì)算。
第四，注意三角函數(shù)和其它知識(shí)（復(fù)數(shù)、極坐標(biāo)）的聯(lián)系。
這帶給我們的啟示還是很強(qiáng)烈的。美國(guó)和德國(guó)的中學(xué)教育以實(shí)用為主，并不太在乎教材體系是否嚴(yán)謹(jǐn)，知識(shí)系統(tǒng)是否完整。我國(guó)的教材雖作調(diào)整，對(duì)8公式不要求記憶。同期頒布的《考試說(shuō)明》仍要求“能推導(dǎo)并掌握（8公式）”。不要求記憶卻要求推導(dǎo)并掌握，怎樣實(shí)施且不去細(xì)說(shuō)，有一個(gè)意圖是可猜到的，那就是要讓學(xué)生知道教材是嚴(yán)謹(jǐn)與完整的。我認(rèn)為這大可不必。嚴(yán)謹(jǐn)與完整是相對(duì)的。現(xiàn)在看來(lái)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臇|西，在更高的觀點(diǎn)下是否還嚴(yán)謹(jǐn)？在圈內(nèi)看是完整的，跳出圈子看，是否還完整？在一個(gè)小地方鉆得太深，在另外更大的地方就可能無(wú)暇顧及。人家能在中學(xué)學(xué)到向量、行列式、微分、積分。我們卻熱衷于在個(gè)別地方窮追不舍，這早已引起行家的注意。從這個(gè)意義上說(shuō)。此次調(diào)整應(yīng)當(dāng)只是第一步。在中學(xué)階段即試圖嚴(yán)謹(jǐn)與完整。其實(shí)是受前蘇聯(lián)教育家贊可夫的三高（高速度、高難度、高理論）影響太深的緣故。
三、調(diào)整后的知識(shí)體系分析
根據(jù)以上的分析，我認(rèn)為本部分知識(shí)應(yīng)分為兩大塊。即“三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)”與“三角變換”，雖然筆者認(rèn)為后者該進(jìn)一步刪減，但畢竟目前沒(méi)有做到。即使以后能大幅刪減，也肯定會(huì)保留適當(dāng)篇幅，因?yàn)槿亲儞Q在理論和實(shí)際中都有廣泛的應(yīng)用。
現(xiàn)將本部分知識(shí)體系列表如下：
這些知識(shí)點(diǎn)中，重點(diǎn)應(yīng)是①③⑦⑧⑨⑩(11)(14)(15)(18)，其實(shí)前幾年的高考對(duì)它們也都有充分的體現(xiàn)。只是被8公式的光環(huán)所籠罩，我們的重視程度不夠而已。當(dāng)然，現(xiàn)在我們要提高對(duì)這些內(nèi)容的重視程度。千萬(wàn)要避免無(wú)限拔高。那樣形成前門拒狼（8公式）后門引虎的局面。就大有違調(diào)整的初衷。
參考文獻(xiàn)
1 黃建宏。聯(lián)邦德國(guó)完全中學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)力介紹。數(shù)學(xué)教學(xué)，190(4)
2 陳昌平。介紹美國(guó)最新課程標(biāo)準(zhǔn)。數(shù)學(xué)教學(xué)，1990(3-4)
作者：不詳
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