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談?wù)動(dòng)?jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)課程中回歸的教學(xué)體會(huì)
【摘要】 回歸是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的核心內(nèi)容，由此決定了回歸教學(xué)在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)教學(xué)中起著關(guān)鍵性的作用。筆者以一元線性回歸為例，根據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，透徹地解析了回歸的本質(zhì)以及如何完整地描述回歸這一高度抽象的概念。
【關(guān)鍵詞】 回歸;教學(xué);體會(huì)
回歸是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的基本概念，在一定意義上講，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)是關(guān)于回歸的學(xué)問(wèn)，學(xué)好回歸是學(xué)好計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的關(guān)鍵所在。從內(nèi)容上來(lái)說(shuō)，回歸是計(jì)量經(jīng);齊學(xué)的起點(diǎn)，也是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的核心內(nèi)容，它貫穿于計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的始終，學(xué)好了回歸就為學(xué)好計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ)。因此，回歸的教學(xué)在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的教學(xué)中有著舉足輕重的作用。
回歸是一個(gè)高度抽象的概念，是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，如何讓學(xué)生聽(tīng)得懂是考驗(yàn)教師教學(xué)能力和教學(xué)水平的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。筆者結(jié)合多年來(lái)的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)劵貧w教學(xué)的幾點(diǎn)體會(huì)。筆者認(rèn)為，要教好回歸，應(yīng)該回答以下幾個(gè)問(wèn)題：一是回歸的本質(zhì)是什么，二是如何從數(shù)學(xué)的角度對(duì)回歸進(jìn)行完整的描述。
一、回歸的本質(zhì)回歸的概念來(lái)源于生物學(xué)。生物學(xué)家高爾頓(Galton)在研究人的身高時(shí)注意到這樣一個(gè)現(xiàn)象：在高個(gè)子人群中，下一代的平均身高會(huì)低于高個(gè)子本代的平均身高;而在矮個(gè)子人群中，下一代的平均身高則會(huì)超過(guò)本代的平均身高，也就是人的身高存在一種趨勢(shì)，即向整個(gè)人群平均身高靠攏的趨勢(shì)。高爾頓將變量向均值靠攏的趨勢(shì)稱(chēng)為。回歸 。
現(xiàn)代意義上的回歸來(lái)源于高爾頓生物學(xué)回歸，但又有別于高爾頓生物學(xué)回歸。共同點(diǎn)在于，兩者都是就均值而言的，都是指向總體均值的集中趨勢(shì)。而區(qū)別在于，后者只涉及一個(gè)變量，而前者則至少涉及兩個(gè)變量。下面以一元線性回歸為例，并以一個(gè)經(jīng)典的例子進(jìn)行說(shuō)明。
假設(shè)有兩個(gè)變量， 為家庭可支配收入，y為家庭消費(fèi)支出。我們考察收入為置的家庭的消費(fèi)支出(yi)情況。在收入為置的所有家庭中，盡管這些家庭的收入相同，但受家庭人口數(shù)不同，消費(fèi)習(xí)慣不同等因素的影響，它們的消費(fèi)支出yi并不完全相同，也就是說(shuō)，盡管收入 。給定，但相應(yīng)的消費(fèi)支出 是一個(gè)隨機(jī)孌量，如圖1所示。然而，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家關(guān)心的不是消費(fèi)支出 本身，而是它的條件均值E( l =置)，簡(jiǎn)記為EI 。這是因?yàn)榫涤腥缦滦再|(zhì)：(1)變量的均值包含了其所有變量值的信息。因?yàn)榫档挠?jì)算利用了變量的所有變量值。(2)變量的均值是其所有變量值的一般代表。這是由性質(zhì)(1)決定的。舉例來(lái)說(shuō)，欲比較兩個(gè)班級(jí)某門(mén)課程的學(xué)習(xí)成績(jī)，我們都知道只需比較這兩個(gè)班級(jí)該門(mén)課程的平均成績(jī)。為什么進(jìn)行比較可以借助于平均成績(jī)而不可以借助于最高成績(jī)呢?原因就在于變量的均值包含了其所有變量值的信息，它可以作為各變量值的代表。而班級(jí)的最高成績(jī)則不具有這種代表性，因?yàn)樗缓渌兞恐档男畔ⅰ?3)變量的均值是其各變量值的合理預(yù)測(cè)值。理由是，各變量值偏離其均值的程度最低，或者說(shuō)，用變量的均值來(lái)預(yù)測(cè)其各變量值所產(chǎn)生的誤差平均起來(lái)最小。這是因?yàn)�，若也就是說(shuō)，對(duì)于給定的解釋變量的取值 ，如果知道了條件均值置)，便可以用它來(lái)預(yù)測(cè)被解釋變量 。條件均值E( I置)反映了被解釋變量 的集中趨勢(shì)，抓住了這個(gè)條件均值就抓住了問(wèn)題的主要矛盾，主要矛盾(E( I置))解決了，次要矛盾( )也就迎刃而解。因此，回歸的本質(zhì)是條件均值E( I置)。
二、回歸概念的完整描述當(dāng)解釋變量 發(fā)生變化時(shí)，相應(yīng)的條件均值E(yI )形成的軌跡稱(chēng)為總體回歸線，如為直線，則稱(chēng)之為一元線性回歸：E(Y I )=風(fēng)口。 。不論解釋變量 如何變化，此總體回歸線代表了其對(duì)應(yīng)的被解釋變量y的集中趨勢(shì)。知道了這條總體回歸線，只要給定解釋變量 的值，便可以利用它預(yù)測(cè)相應(yīng)的被解釋變量。因此，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的目標(biāo)就是要尋找這條總體回歸線。但遺憾的是，我們手頭上沒(méi)有總體數(shù)據(jù)，這條總體回歸線是未知的，回歸理論要解決的問(wèn)題之一是如何利用樣本數(shù)據(jù)去估計(jì)這條未知的總體回歸線。
估計(jì)總體回歸線的方法有多種，傳統(tǒng)的方法是最小二乘法，也稱(chēng)最小平方法(OLS)，其原理是：從總體中隨機(jī)抽出一個(gè)樣本。這觀測(cè)對(duì)應(yīng)圖2中的n個(gè)點(diǎn)，它們來(lái)源于總體，含有總體回歸線的信息，我們可以利用這n個(gè)點(diǎn)構(gòu)建一條最佳的直線，稱(chēng)為樣本回歸線，然后利用這條最佳直線去估計(jì)未知的總體回歸線。現(xiàn)在的問(wèn)題是，什么是最佳的直線?衡量最佳的標(biāo)準(zhǔn)是什么?對(duì)于最小二乘法而言，這個(gè)最佳標(biāo)準(zhǔn)是樣本回歸線偏離n個(gè)觀測(cè)的總偏差最小。那么，用什么來(lái)衡量這一總偏差呢?人們自然會(huì)想到。
但問(wèn)題是這個(gè)總偏差中含有絕對(duì)值，求這個(gè)總偏差的極小值時(shí)數(shù)學(xué)處理極不方便。但將這個(gè)絕對(duì)值直接丟掉又會(huì)導(dǎo)致恒為零，既不能使偏差— (也叫殘差)相互抵消，又要去掉這個(gè)絕對(duì)值，一個(gè)可行的方法是平方，即用殘差平方和衡量總偏差。根據(jù)殘差平方和最小這個(gè)準(zhǔn)則來(lái)構(gòu)建樣本回歸線的方法就是最小二乘法。構(gòu)建樣本回歸線的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了求的極小值問(wèn)題，分別對(duì)這兩個(gè)參數(shù)求偏導(dǎo)即可得到它們的估計(jì)，從而構(gòu)建出樣本回歸線�；貧w理論的思路是：用樣本回歸線估計(jì)總體回歸線，再用總體回歸線預(yù)測(cè)被解釋變量，即用總體回歸線,預(yù)測(cè)被解釋變量y自然存在誤差，此誤差稱(chēng)為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，記為 = —E( l )，但此擾動(dòng)項(xiàng)不可觀測(cè)，自然會(huì)想到用殘差作估計(jì)量。由擾動(dòng)項(xiàng)和殘差分別派生出兩個(gè)方程：
置因此，要完整地描述一元線性回歸的概念需要有 兩線 、 兩誤差 和 四方程 。 兩線 指的是總體回歸線和樣本回歸線， 兩誤差指的是擾動(dòng)項(xiàng)與殘差， 四方程 指的是：是回歸理論的目標(biāo)。方程(2)是方程(1)的估計(jì)，二者是目標(biāo)與手段的關(guān)系;方程(4)是對(duì)方程(3)的估計(jì);方程(3)有著完整的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義，即被解釋變量的影響因素分為兩部分：解釋變量和擾動(dòng)項(xiàng)。擾動(dòng)項(xiàng)是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型區(qū)別于其他模型的本質(zhì)特征，在一定程度上講，沒(méi)有擾動(dòng)項(xiàng)就沒(méi)有計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)。擾動(dòng)項(xiàng)好比是一個(gè)大籮筐，除了解釋變量以外，影響被解釋變量的因素都往里邊裝。
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