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“三角形的中位線(xiàn)”教學(xué)設(shè)計(jì)案例
摘要：本文從設(shè)計(jì)思路、教學(xué)過(guò)程、板書(shū)設(shè)計(jì)和課后反思四個(gè)方面介紹了“三角形的中位線(xiàn)”教學(xué)設(shè)計(jì)案例。
關(guān)鍵詞：三角形中位線(xiàn)；設(shè)計(jì)思路；教學(xué)過(guò)程；板書(shū)設(shè)計(jì)；課后反思
作者簡(jiǎn)介：王雪楓，任教于甘肅省蘭州市第四中學(xué)。
授課班級(jí)：甘肅省蘭州市第四中學(xué)九年級(jí)（5）班
授課教材：義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》（北師大版）九年級(jí)上冊(cè)第三章《證明（三）》第一節(jié)平行四邊形（第三課時(shí)）。
一、設(shè)計(jì)思路
（一）教材分析
本課時(shí)所要探究的三角形中位線(xiàn)定理是學(xué)生以前從未接觸過(guò)的內(nèi)容。因此，在教學(xué)中通過(guò)創(chuàng)設(shè)有趣的情境問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，注重新舊知識(shí)的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)直觀與抽象的結(jié)合，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，大膽探索新穎獨(dú)特的證明方法和思路，讓學(xué)生充分經(jīng)歷“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”這一過(guò)程，體會(huì)合情推理與演繹推理在獲得結(jié)論的過(guò)程中發(fā)揮的作用，同時(shí)滲透歸納、類(lèi)比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，應(yīng)使學(xué)生理解三角形中位線(xiàn)定理不僅指出了三角形的中位線(xiàn)與第三邊的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，而且為證明線(xiàn)段之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系（倍分關(guān)系）提供了新的思路，從而提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。
（二）學(xué)情分析
本班學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)比較扎實(shí)，接受新知識(shí)的意識(shí)較強(qiáng)，對(duì)于本章有關(guān)平行四邊形的性質(zhì)和判定的內(nèi)容掌握較好，但知識(shí)遷移能力較差，數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用不夠靈活。因此，本節(jié)課著眼于基礎(chǔ)，注重能力的培養(yǎng)，積極引導(dǎo)學(xué)生首先通過(guò)實(shí)際操作獲得結(jié)論，然后借助于平行四邊形的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行探索和證明。在此過(guò)程中注重知識(shí)的遷移同時(shí)重點(diǎn)滲透轉(zhuǎn)化、類(lèi)比、歸納的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生的優(yōu)勢(shì)得以發(fā)揮，劣勢(shì)得以改進(jìn)，從而提高學(xué)生的整體水平。
三）教學(xué)目標(biāo)
1.知識(shí)目標(biāo)
1）了解三角形中位線(xiàn)的概念。
2）掌握三角形中位線(xiàn)定理的證明和有關(guān)應(yīng)用。
2.能力目標(biāo)
1） 經(jīng)歷“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展推理論證能力。
2） 能夠用多種方法證明三角形的中位線(xiàn)定理，體會(huì)在證明過(guò)程中所運(yùn)用的歸納、類(lèi)比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法。
3）能夠應(yīng)用三角形的中位線(xiàn)定理進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算，逐步提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
3.情感目標(biāo)
通過(guò)學(xué)生動(dòng)手操作、觀察、實(shí)驗(yàn)、推理、猜想、論證等自主探索與合作交流的過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生真正體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。
（四）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：三角形中位線(xiàn)的概念與三角形中位線(xiàn)定理的證明.
教學(xué)難點(diǎn)：三角形中位線(xiàn)定理的多種證明。
（五）教學(xué)方法與學(xué)法指導(dǎo)
對(duì)于三角形中位線(xiàn)定理的引入采用發(fā)現(xiàn)法，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)探索、猜測(cè)等自主探究的方法先獲得結(jié)論再去證明。在此過(guò)程中，注重對(duì)證明思路的啟發(fā)和數(shù)學(xué)思想方法的滲透，提倡證明方法的多樣性，而對(duì)于定理的證明過(guò)程，則運(yùn)用多媒體演示。
（六）教具和學(xué)具的準(zhǔn)備
教具：多媒體、投影儀、三角形紙片、剪刀、常用畫(huà)圖工具。
學(xué)具：三角形紙片、剪刀、刻度尺、量角器。
二、 教學(xué)過(guò)程
1.一道趣題——課堂因你而和諧
問(wèn)題：你能將任意一個(gè)三角形分成四個(gè)全等的三角形嗎？這四個(gè)全等三角形能拼湊成一個(gè)平行四邊形嗎？（板書(shū)）
（這一問(wèn)題激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生積極主動(dòng)地加入到課堂教學(xué)中，課堂氣氛變得較為和諧，課堂也鮮活起來(lái)了。）
學(xué)生想出了這樣的方法：順次連接三角形每?jī)蛇叺闹悬c(diǎn)，看上去就得到了四個(gè)全等的三角形．
如圖中，將△ADE繞E點(diǎn)沿順（逆）時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°可得平行四邊形ADFE。
問(wèn)題：你有辦法驗(yàn)證嗎？
2.一種實(shí)驗(yàn)——課堂因你而生動(dòng)
學(xué)生的驗(yàn)證方法較多，其中較為典型的方法如下：
生1：沿DE、DF、EF將畫(huà)在紙上的△ABC剪開(kāi)，看四個(gè)三角形能否重合。
生2：分別測(cè)量四個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)度，判斷是否可利用“SSS”來(lái)判定三角形全等。
生3：分別測(cè)量四個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的邊及角，判斷是否可用“SAS、ASA或AAS”判定全等。
引導(dǎo)：上述同學(xué)都采用了實(shí)驗(yàn)法，存在誤差，那么如何利用推理論證的方法驗(yàn)證呢？
3.一種探索——課堂因你而鮮活
師：把連接三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)．（板書(shū)）
問(wèn)題：三角形的中位線(xiàn)與第三邊有怎樣的關(guān)系呢？在前面圖1中你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？
（學(xué)生的思維開(kāi)始活躍起來(lái)，同學(xué)之間開(kāi)始互相討論，積極發(fā)言）
學(xué)生的結(jié)果如下：DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，AE=EC，BF=FC，BD=AD，
△ ADE≌△DBF≌△EFC≌△DEF，DE=BC，DF=AC，EF=AB ……
猜想：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，且等于第三邊的一半。（板書(shū)）
師：如何證明這個(gè)猜想的命題呢？
生：先將文字問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題然后證明。
已知：DE是ABC的中位線(xiàn)，求證：DE//BC、DE=BC。
學(xué)生思考后教師啟發(fā)：要證明兩條直線(xiàn)平行，可以利用“三線(xiàn)八角”的有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而要證明一條線(xiàn)段的長(zhǎng)等于另一條線(xiàn)段長(zhǎng)度的一半，可采用將較短的線(xiàn)段延長(zhǎng)一倍，或者截取較長(zhǎng)線(xiàn)段的一半等方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化歸納。
（學(xué)生積極討論，得出幾種常用方法，大致思路如下）
生1：延長(zhǎng)DE到F使EF=DE，連接CF
由 △ADE≌△CFE（SAS）
得 ADFC 從而 BDFC
所以，四邊形DBCF為平行四邊形
得 DFBC
可得 DEBC （板書(shū)）
生2：將ADE繞E點(diǎn)沿順（逆）時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°，使得點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，
即 ADE≌CFE，
可得 BDCF，
得 平行四邊形DBCF
得 DFBC 可得 DEBC
生3：延長(zhǎng)DE到F使DE=EF，連接AF、CF、CD, 可得 ADCF
得 DBCF
得 DFBC
可得 DEBC
生4：利用△ADE∽△ABC且相似比為1：2
即
可得 DEBC
師：還有其它不同方法嗎？
（學(xué)生面面相覷，學(xué)生5舉手發(fā)言）
4.一種創(chuàng)新——課堂因你而美麗
生5：過(guò)點(diǎn)D作DF//BC交AC于點(diǎn)F
則 ADF∽ABC
可得
又 E是AC中點(diǎn)
可得
因此 AE=AF
即 E點(diǎn)與F點(diǎn)重合
所以 DE//BC 且 DE=BC
（筆者事先只局限于思考利用平行四邊形及三角形相似的性質(zhì)解決問(wèn)題，沒(méi)想到學(xué)生的發(fā)言如此精彩，為整個(gè)課堂添加了不少亮色。）
師：很好，好極了！這種證法在數(shù)學(xué)中叫做同一法，連老師也沒(méi)想到。太棒了，大家要向生5學(xué)習(xí)，用變化的、動(dòng)態(tài)的、創(chuàng)新的觀點(diǎn)來(lái)看問(wèn)題，努力去尋找更好更簡(jiǎn)捷的方法。
5.一種思考——課堂因你而添彩
問(wèn)題：三角形的中位線(xiàn)與中線(xiàn)有什么區(qū)別與聯(lián)系呢？
容易得出如下事實(shí)：都是三角形內(nèi)部與邊的中點(diǎn)有關(guān)的線(xiàn)段．但中位線(xiàn)平行于第三邊，且等于第三邊的一半，三角形的一條中位線(xiàn)與第三邊上的中線(xiàn)互相平分．（學(xué)生交流、探索、思考、驗(yàn)證）
6.一種照應(yīng)——課堂因你而完整
問(wèn)題：你能利用三角形中位線(xiàn)定理說(shuō)明本節(jié)課開(kāi)始提出的趣題的合理性嗎？（學(xué)生爭(zhēng)先恐后回答，課堂氣氛活躍）
7.一種應(yīng)用——課堂因你而升華
做一做：任意一個(gè)四邊形，將其四邊的中點(diǎn)依次連接起來(lái)所得新四邊形的形狀有什么特征？
（學(xué)生積極思考發(fā)言，師生共同完成此題目的最常見(jiàn)解法。）
已知：四邊形ABCD，點(diǎn)E、F、G、H
分別是四邊的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是平行四邊形。
證明：連結(jié)AC
∵ E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，
∴ EF是ABC的中位線(xiàn)，
∴ EF∥AC且EF=AC，
同理可得：GH∥AC 且GH=AC，
∴ EFGH，
∴四邊形EFGH為平行四邊形。（板書(shū)）
其它解法由學(xué)生口述完成。
8.一種引申——課堂因你而讓人回味無(wú)窮
問(wèn)題：如果將上例中的“任意四邊形”改為“平行四邊形、矩形、菱形、正方形”，結(jié)論又會(huì)怎么樣呢？（學(xué)生作為作業(yè)完成。）
9.一句總結(jié)——課堂因你而彰顯無(wú)窮魅力
學(xué)生總結(jié)本節(jié)內(nèi)容：三角形的中位線(xiàn)和三角形中位線(xiàn)定理。（另附作業(yè)）
三、板書(shū)設(shè)計(jì)
三角形的中位線(xiàn)
1.問(wèn)題
2.三角形中位線(xiàn)定義
3.三角形中位線(xiàn)定理證明
4.做一做
5.練習(xí)
6.小結(jié)
四、課后反思
本節(jié)課以“如何將一個(gè)任意三角形分為四個(gè)全等的三角形”這一問(wèn)題為出發(fā)點(diǎn)，以平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理為橋梁，探究了三角形中位線(xiàn)的基本性質(zhì)和應(yīng)用。在本節(jié)課中，學(xué)生親身經(jīng)歷了“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的探究過(guò)程，體會(huì)了證明的必要性和證明方法的多樣性。在此過(guò)程中，筆者注重新舊知識(shí)的聯(lián)系，同時(shí)強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化、類(lèi)比、歸納等數(shù)學(xué)思想方法的恰當(dāng)應(yīng)用，達(dá)到了預(yù)期的目的。
本節(jié)課中學(xué)生的“同一法”給了我們很多的啟示：雖然在平時(shí)的教學(xué)中，筆者也盡力放手讓學(xué)生們探索和創(chuàng)新．但仔細(xì)想想，他們的那些“創(chuàng)新”都局限于事先設(shè)計(jì)好的范圍之內(nèi)，而本節(jié)課中學(xué)生的“同一法”卻是從變化的、動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)去看待問(wèn)題，完全超出了筆者的“預(yù)設(shè)”，課堂因此而變得更精彩。筆者深深地感到一個(gè)理想的課堂應(yīng)該是走進(jìn)孩子們的心里、聽(tīng)到孩子們心聲的課堂。因?yàn)橹挥腥谌肓撕⒆觽儼l(fā)自?xún)?nèi)心的感受和愛(ài)，課堂才會(huì)更加精彩！
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