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讓我們走進(jìn)數(shù)學(xué)思考論文
全日制義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出：知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思考、解決問(wèn)題、情感與態(tài)度是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)，這“四個(gè)方面的目標(biāo)是一個(gè)密切聯(lián)系的有機(jī)整體，對(duì)人的發(fā)展具有十分重要的作用，它們是在豐富多彩的數(shù)學(xué)活動(dòng)中實(shí)現(xiàn)的�！睂�(duì)照現(xiàn)行使用的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱所提及的數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)，《標(biāo)準(zhǔn)》里把“數(shù)學(xué)思考”放在如此突出的地位，其在促進(jìn)學(xué)生終身發(fā)展這一過(guò)程中的作用可見(jiàn)一斑。
一、提出數(shù)學(xué)思考的背景
新一輪課程改革是在總結(jié)九年義務(wù)教育的成績(jī)和經(jīng)驗(yàn)，并對(duì)國(guó)際小學(xué)數(shù)學(xué)發(fā)展趨勢(shì)研究的基礎(chǔ)上，以適應(yīng)社會(huì)發(fā)展和教育發(fā)展需要的背景下產(chǎn)生的。著名計(jì)算機(jī)專家、清華大學(xué)教授譚浩強(qiáng)說(shuō)：“現(xiàn)在，衡量人才的標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)由知識(shí)的積累改變?yōu)橹R(shí)的檢索和知識(shí)的創(chuàng)造�！爆F(xiàn)代教育的首要目標(biāo)應(yīng)該是，教導(dǎo)學(xué)生“如何學(xué)習(xí)”以及“如何思考”。聯(lián)合國(guó)教科文組織在《學(xué)會(huì)生存》一書(shū)中指出：“教師的職責(zé)現(xiàn)在已經(jīng)越來(lái)越少地傳授知識(shí)，而越來(lái)越多地激勵(lì)思考。”美國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出五項(xiàng)具體的學(xué)習(xí)目標(biāo)，其中的一個(gè)目標(biāo)是“學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法”。英國(guó)的國(guó)家數(shù)學(xué)課程目標(biāo)中也提出了“使 學(xué)生有機(jī)會(huì)運(yùn)用一系列思考策略進(jìn)行活動(dòng)，以鞏固和發(fā)展相關(guān)的知識(shí)和技能，發(fā)展數(shù)學(xué)思考能力�！比毡驹�1998年發(fā)布了新的“日本數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)綱要”，提出了“培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和獨(dú)立思考的能力”的學(xué)習(xí)目標(biāo)。因此，從國(guó)內(nèi)外小學(xué)數(shù)學(xué)教育改革的大背景來(lái)看，被譽(yù)為“思維王國(guó)”的數(shù)學(xué)應(yīng)該理所當(dāng)然地要把數(shù)學(xué)思考當(dāng)作學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要目標(biāo)。
二、數(shù)學(xué)思考及其它的內(nèi)涵
什么是數(shù)學(xué)思考？數(shù)學(xué)思考亦即數(shù)學(xué)思維，顧名思義，指以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體和原料的思維活動(dòng)過(guò)程。我們知道，數(shù)學(xué)是人們?cè)趯?duì)客觀世界定性把和定量刻畫(huà)的基礎(chǔ)上、逐步抽象概括，形成方法和理論，并在進(jìn)行應(yīng)用的過(guò)程。這一過(guò)程充滿著觀察、實(shí)驗(yàn)、模擬、猜測(cè)、矯正調(diào)控、探索等。可見(jiàn)，數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一個(gè)是形式層面的數(shù)學(xué)，即靜態(tài)的數(shù)學(xué)，一個(gè)是發(fā)現(xiàn)層面的數(shù)學(xué)，即動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)。只有把兩者結(jié)合起來(lái)，才是真正的數(shù)學(xué)。為此，日本學(xué)者藤田提出，通過(guò)“數(shù)學(xué)常識(shí)”和“數(shù)學(xué)思維能力”的組合來(lái)培養(yǎng)數(shù)學(xué)智力、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考的教學(xué)目標(biāo)。
《標(biāo)準(zhǔn)》把發(fā)展數(shù)學(xué)思考具體化為“四個(gè)發(fā)展”：
1、發(fā)展抽象思維。
抽象思維是指抽取出同類事物的共同的本質(zhì)特征的思維形式�！稑�(biāo)準(zhǔn)》指出：讓學(xué)生“經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和圖形描述現(xiàn)實(shí)世界的過(guò)程，建立初步的數(shù)感和符號(hào)感，發(fā)展抽象思維。”
2、發(fā)展形象思維。
《標(biāo)準(zhǔn)》中指出：對(duì)學(xué)生要“豐富對(duì)現(xiàn)實(shí)空間及圖形的認(rèn)識(shí)，建立初步的空間觀念，發(fā)展形象思維�！卞X(qián)學(xué)森教授稱形象思維的研究是“思維科學(xué)的突破口”。加強(qiáng)形象思維訓(xùn)練，有利于開(kāi)發(fā)右腦功能的潛能，使左右腦和諧直轄市地發(fā)展。
3、發(fā)展統(tǒng)計(jì)觀念。
加強(qiáng)統(tǒng)計(jì)思想和方法的教學(xué)是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程改革的趨勢(shì)之一�！稑�(biāo)準(zhǔn)》指出：“統(tǒng)計(jì)觀念主要表現(xiàn)在：能從統(tǒng)計(jì)角度思考與數(shù)據(jù)信息有關(guān)的問(wèn)題；能通過(guò)收集數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的過(guò)程作出合理的決策，認(rèn)識(shí)到統(tǒng)計(jì)對(duì)決策的作用；能對(duì)數(shù)據(jù)的來(lái)源、處理數(shù)據(jù)的方法，以及由此得到的結(jié)果進(jìn)行合理的質(zhì)疑。”這里提出了統(tǒng)計(jì)教學(xué)的三個(gè)基本目標(biāo)和要求。通過(guò)經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)過(guò)程，使學(xué)生感受到統(tǒng)計(jì)是實(shí)現(xiàn)生活中必不可少的重要知識(shí)，并培養(yǎng)學(xué)生以隨機(jī)觀點(diǎn)理解客觀世界。
4、發(fā)展應(yīng)用意識(shí)與推理能力。
數(shù)學(xué)應(yīng)用是數(shù)學(xué)教育首要的和基本的目標(biāo)，也是當(dāng)前課改的重點(diǎn)內(nèi)容之中一。關(guān)注應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)，要強(qiáng)調(diào)做到“三個(gè)主動(dòng)”：一是主動(dòng)聯(lián)系生活實(shí)際，在實(shí)際背景中應(yīng)用數(shù)學(xué)；二是主動(dòng)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想方法解決問(wèn)題；三是主動(dòng)探索應(yīng)用的過(guò)程。這樣才能真正體現(xiàn)應(yīng)用的現(xiàn)實(shí)性、策略性和探索性。學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中要綜合運(yùn)用歸納和演繹兩種推理形式。如在數(shù)的四則計(jì)算教學(xué)中既要從實(shí)際計(jì)算中概括出運(yùn)算法則，同時(shí)又要將法則運(yùn)用到大量的計(jì)算中去。因此，發(fā)展學(xué)生的推理能力，主要是發(fā)展學(xué)生歸納推理和演繹推理的能力。
三、把握數(shù)學(xué)思考的途徑
在傳統(tǒng)的教學(xué)活動(dòng)中，數(shù)學(xué)思維就是指《標(biāo)準(zhǔn)》認(rèn)為：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。”倡導(dǎo)新的學(xué)習(xí)方式、新的思維方式是實(shí)施數(shù)學(xué)思考的主要途徑。
1、在動(dòng)手實(shí)踐中思考。
動(dòng)手實(shí)踐就是讓學(xué)生親身經(jīng)歷，在動(dòng)手活動(dòng)中學(xué)數(shù)學(xué)。它可以使學(xué)生在活動(dòng)中獲得真實(shí)的情景感受，自己建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程，而且為情感、態(tài)度、價(jià)值觀健康發(fā)展打下基礎(chǔ)。在動(dòng)手實(shí)踐中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生著重思考；動(dòng)手實(shí)踐的目標(biāo)、策略、起點(diǎn)、方向與程序；觀察實(shí)踐前、中、后情況狀態(tài)的變化，及“能描述對(duì)象的特征和由來(lái)；能明確地闡述此對(duì)象與有關(guān)對(duì)象之間的區(qū)別和聯(lián)系”；數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出與解決的過(guò)程；對(duì)活動(dòng)過(guò)程的表現(xiàn)、體驗(yàn)及成果進(jìn)行評(píng)價(jià)與反思。
2、在自主探索中思考。
自主探索是學(xué)生根據(jù)自己的認(rèn)識(shí)水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在教師的指導(dǎo)和幫助下，通過(guò)自己獨(dú)立探索和發(fā)現(xiàn)，從而獲取知識(shí)的過(guò)程。它是發(fā)展學(xué)生主動(dòng)性、獨(dú)立性和創(chuàng)造性的主要途徑。自主探索時(shí)應(yīng)著重思考：“對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中有關(guān)的數(shù)字信息作出合理的解釋”；探索信息之間的相互聯(lián)系，信息與已有知識(shí)之間的相互聯(lián)系；怎樣對(duì)信息“進(jìn)行歸納、類比與猜測(cè)”；新知識(shí)的本質(zhì)屬性是什么；“對(duì)結(jié)論的合理性作出有說(shuō)服力的說(shuō)明”。
3、在合作交流中思考。
合作交流是現(xiàn)代學(xué)習(xí)的重要方式。它不僅有利于發(fā)展學(xué)生的興趣和認(rèn)知能力，同時(shí)有利于培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)、合作精神和合作能力。對(duì)于哪些思考空間較大的問(wèn)題，如條件、問(wèn)題、思路、答案具有探索性和開(kāi)放性的，宜采用合作學(xué)習(xí)。合作學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)著重思考：怎樣從不同的角度理解信息、分析信息和利用信息；從觀察、實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了什么，有哪些不同的思路和解法；從交流中獲得哪些共識(shí)，獲得哪些知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)；采用了哪些有效的學(xué)習(xí)方法完成特定的數(shù)學(xué)任務(wù)；還有哪些地方不理解等。
四、發(fā)展數(shù)學(xué)思考的要求
發(fā)展數(shù)學(xué)思考能力，《標(biāo)準(zhǔn)》中提出五點(diǎn)要求：
1、要學(xué)會(huì)“在教師的幫助下”進(jìn)行思考。
《標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)了在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)起到“三個(gè)作用”：一是“激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性”；二是“向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)”；三是“幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。學(xué)生頭腦不會(huì)自發(fā)產(chǎn)生數(shù)學(xué)思考，要做到像教育家蘇霍姆林斯基所說(shuō)的，“教師是思考力的培育者，不是知識(shí)的注入者�！庇辛私處煹闹笇�(dǎo)，教學(xué)活動(dòng)就不會(huì)盲目進(jìn)行，就會(huì)增強(qiáng)目的性和實(shí)效性。
2、要學(xué)會(huì)“在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上”進(jìn)行思考。
學(xué)習(xí)總是在原不的知識(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)行的。原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)思考的基礎(chǔ)和起點(diǎn)。例如在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)除法意義”之前，有必要復(fù)習(xí)整數(shù)除法的意義，為學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)在思考上做好準(zhǔn)備。
3、要“學(xué)會(huì)選擇有用信息”進(jìn)行思考。
信息是解決問(wèn)題的資源。要學(xué)會(huì)兩種方法選擇有用的信息：一是學(xué)會(huì)在生活中選擇，能夠?qū)ΜF(xiàn)代社會(huì)中大量紛繁復(fù)雜的信息作出恰當(dāng)?shù)倪x擇與判斷，同時(shí)為人們交流信息提供了一種有效、簡(jiǎn)捷的手段。二是學(xué)會(huì)在解題中選擇，“能根據(jù)解決問(wèn)題的需要，收集有用的信息”。此外，還要學(xué)會(huì)組合條件，學(xué)會(huì)從不同角度思考問(wèn)題，尋找信息與問(wèn)題的聯(lián)系，為分析和描述信息打下基礎(chǔ)。
4、要學(xué)會(huì)“利用直觀來(lái)進(jìn)行思考”。
心理學(xué)研究表明：直觀、形象、新奇的東西更能引起學(xué)生的注意�！稑�(biāo)準(zhǔn)》指出：“能運(yùn)用圖形形象地描述問(wèn)題，利用直觀來(lái)進(jìn)行思考。”圖形語(yǔ)言是文字語(yǔ)言過(guò)渡到符號(hào)語(yǔ)言的橋梁。著名的數(shù)學(xué)家斯蒂思說(shuō)過(guò)：“如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么，思路就整體地把握了問(wèn)題，并且能創(chuàng)造性思考問(wèn)題的解法�！币虼�，解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題應(yīng)該盡量利用直觀，達(dá)到化難為易、化抽象為形象、化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)的目的。
5、要學(xué)會(huì)“有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)”。
思考過(guò)程與結(jié)果的闡述是傳遞信息、交流思想、合作學(xué)習(xí)的重要形式。無(wú)論是口頭表達(dá)還是書(shū)面表面，都要“能清晰、有條理地表達(dá)自己的思考過(guò)程，做到言之有理、落筆有據(jù)；在與他人交流的過(guò)程中，能運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、合乎邏輯地進(jìn)行討論與質(zhì)疑。”有時(shí)還要用簡(jiǎn)明扼要的提示語(yǔ)概括表達(dá)的步驟。如推導(dǎo)三角形面積計(jì)算公式的表達(dá)，可用“一旋轉(zhuǎn)、二平移、三尋找對(duì)應(yīng)、四發(fā)現(xiàn)規(guī)律”的程序幫助學(xué)生有條理地闡述推導(dǎo)的過(guò)程。
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