高等數(shù)學(xué)教學(xué)中Matlab軟件的運用分析論文
數(shù)學(xué)是自然科學(xué)研究和工程技術(shù)應(yīng)用的重要工具，在理工科院校中，高等數(shù)學(xué)是一門非常重要的基礎(chǔ)課，是學(xué)生學(xué)好其他基礎(chǔ)課和專業(yè)課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。然而，高等數(shù)學(xué)中涉及大量的計算，學(xué)生在掌握理論知識的基礎(chǔ)上，要演算某個例題或者推算定義定理的時間較長。如果學(xué)生大部分時間都花在不必要的機械性的計算上，就會忽略對定義和定理的理解。Matlab 中包括大量的函數(shù)，直接調(diào)用這些函數(shù)可以方便實現(xiàn)高等數(shù)學(xué)中的極限、求導(dǎo)、積分、以及微分方程等計算問題。Matlab 指令表達式與數(shù)學(xué)、工程中常用的形式十分相似，學(xué)生稍加理解就能上手。在教學(xué)中引入 Matlab 提高了學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。本文以同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系編著的《高等數(shù)學(xué)》為例，主要介紹符號計算和圖形處理功能在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。
1 符號計算在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
1.1 求極限。
高等數(shù)學(xué)教學(xué)通常會介紹等價無窮小求極限、洛必達法則求極限、兩個重要極限等方法求極限。
對理工科學(xué)生以及部分經(jīng)濟管理類學(xué)生在極限的應(yīng)用中更關(guān)心的是所求極限的結(jié)果。這時學(xué)習(xí)一個Matlab 命令要比學(xué)習(xí)這些數(shù)學(xué)方法要快得多。
如求極限
。此題用到的是兩個重要極限求極限的方法，學(xué)生難于理解，而 matlab 命令為：
syms x
limit（（（x-1）/（x+1））^x,x,inf）
回車即可返回結(jié)果：ans=exp（-2）
1.2 求積分。
高等數(shù)學(xué)求積分的內(nèi)容涉及不定積分，定積分，重積分，以及積分的應(yīng)用，但是在講不定積分、定積分內(nèi)容授課學(xué)時中 2/3 之二的時間都在介紹計算方法，包括湊微分、換元、分部積分、有理函數(shù)積分、反常積分。而 Matlab 的求積分命令只有一個卻可以解決各類積分方法的積分求解問題。
如求積分
。 此題用到換元的方法求解，計算比較復(fù)雜，而 matlab 命令為：
syms x
int（1/（（1+x^（1/3））*sqrt（x）））
回車即可返回結(jié)果 ans=6*x^ （1/6）-6*atan（x^（1/6））
1.3 求解微分方程。
高等數(shù)學(xué)微分方程這一章主要介紹微分方程求解方法，如齊次方程，一階線性微分方程，可降階的高階微分方程，高階線性微分方程，常系數(shù)齊次和非齊次線性微分方程。 對于具體的微分方程問題，學(xué)生往往不知道采用哪種方法去求解。Matlab微分方程求解也只有一個命令。
如求微分方程 y“=+y=xcos2x. 此方程為常系數(shù)非齊次線性微分方程，求解方法為先求得其所對應(yīng)的齊次方程的通解，再求其一個特解。計算量較大，而一個。Matlab 命令就可以解這個微分方程，并且所有的微分方程求解都用這個命令。此題 Matlab 命令為：
dsolve（‘D2y+y=x*cos（2*x）','x’）
返回結(jié)果為：ans=sin （x）*C2+cos（x）*C1+4/9*sin（2*x）-1/3*x*cos（2*x）
2 繪圖功能在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
Matlab 強大的繪圖功能可以幫助學(xué)生從直觀上理解高等數(shù)學(xué)中抽象的概念，將邏輯思維與形象思維有機的結(jié)合起來。
2.1 圖示法觀察泰勒級數(shù)和原函數(shù)的逼近。
在教學(xué)過程中，很多學(xué)生對泰勒公式的含義理解不清楚，如果引入 Matlab 中的：taylortool 通過圖形從直觀上幫助學(xué)生加深對泰勒公式的理解，加深對泰勒級數(shù)逼近函數(shù)這一思想方法的理解。
如求 y=cosx 的麥克勞林展式。在命令窗口輸入taylortool 回車，打開 taylor tool 窗口，函數(shù) f（x）輸入cos（x），a 輸入 0,x 的變化范圍輸入 -2*pi,2*pi.分別給出 N=3,N=7,N=20 函數(shù)的逼近圖形。 讓學(xué)生理解，離 x=0 處越近函數(shù)的逼近效果越好，N 越大，函數(shù)逼近效果越好。
2.2 圖示法理解振蕩間斷點和無窮小量與有界量乘積仍是無窮小量。
函數(shù) y=sin（1/x）在 x=0 點處無定義，故 x=0 是間斷點。但如何確定函數(shù)在該點的間斷點類型呢？這時可以借助 matlab 繪圖功能，幫助學(xué)生理解振蕩間斷點。
輸入：ezplot（‘sin（1/x）',[-pi,pi]） 輸出為圖 1
輸入：syms x
limit（sin（1/x），x,0）
輸出：ans =-1 . . 1
從輸出結(jié)果可以看出函數(shù)函數(shù) y=sin（1/x）在 x 趨于 0 時，函數(shù) y=sin（1/x）值在 -1 和 1 之間振蕩，極限不存在，因此，x=0 稱為振蕩間斷點。
先看一下函數(shù) y=xsin（1/x）的圖形：
輸入：ezplot（x*sin（1/x），[-pi,pi]）
輸出為圖 2. 圖 2 表明函數(shù) y=xsin（1/x）的值不斷振蕩，但 |sin（1/x）|≤1,即 sin（1/x）在（-∞，+∞）之間是一個有界的函數(shù)，并且在 x 趨于 0 時，函數(shù) y=xsin（1/x）圖形離 0 的值越來越近，即趨近于 0.
再求函數(shù)在 x 趨于 0 時的極限：
輸入：syms x
limit（x*sin（1/x），x,0）
輸出： ans=0
即
通過函數(shù) y=xsin（1/x）。
的圖形和極限可以幫助學(xué)生理解無窮小量與有界量的.乘積仍為無窮小量。
2.3 圖示法理解函數(shù)用冪級數(shù)逼近和用傅立葉級數(shù)逼近的區(qū)別。
學(xué)生常常不明白函數(shù)用冪級數(shù)逼近和用傅立葉級數(shù)逼近有什么區(qū)別，若單純從理論上來分析解釋，學(xué)生是難以接受和理解，利用 matlab 軟件作圖，可以幫助學(xué)生區(qū)分二者不同，化解難點。
我們可以利用前文中的 y=codx 的麥克勞林展式為例，幫助學(xué)生理解，函數(shù)的冪級數(shù)逼近只在某一點附近的逼近效果較好。對于函數(shù)的傅立葉級數(shù)逼近，我們可以采用下面的例子：g（x）是以 2π 為周期的周期函數(shù)，它在[-π，π]表達式為：
將 g（x）展開成傅立葉級數(shù)，并用 matlab 作圖，分別比較 g（x）的傅立葉級數(shù)的前 3、5、7、9 項與 g（x）的接近情況。程序和圖如下：
f='sign（sin（x））';
x=-3*pi:0.1:3*pi;
y1=eval（f）；
plot（x,y1,'r’）
pause
hold on
for n=3:2:9
for k=1:n
bk=-2*（（（-1）。^k）-1）/（k*pi）；
s（k,:）=bk*sin（k*x）；
end
s=sum（s）；
plot（x,s）
pause
hold on
end
圖 3 的四幅圖中紅色線為 g（x）的圖形，是一方波，藍(lán)色線為展開的 g（x）的傅立葉級數(shù)的不同項數(shù)的函數(shù)曲線，從圖中可以看出，n 越大，整體逼近效果越好。通過 matlab 作圖幫助學(xué)生理解了和函數(shù)的冪級數(shù)逼近只在某一點附近的逼近效果不同，函數(shù)的傅立葉級數(shù)逼近是整體的逼近。
3 結(jié)束語
MATLAB 為多層次教學(xué)、演示教學(xué)、實踐教學(xué)等現(xiàn)代化教學(xué)提供了一個良好的平臺，通過 MAT-LAB 強大的符號計算功能和圖像處理功能，調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，起到了事半功倍的效果，真正體現(xiàn)了虛擬課堂的作用，為進一步提高教學(xué)水平和教學(xué)質(zhì)量，推動高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革提供了新的思路。
參考文獻：
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