內(nèi)力做功的兩個(gè)特例與應(yīng)用
在一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)內(nèi)部相互作用的力叫“內(nèi)力”，這個(gè)力學(xué)系統(tǒng)與外部物體相互作用的力叫“外力”。下面是小編為大家收集的內(nèi)力做功的兩個(gè)特例與應(yīng)用，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
一對(duì)內(nèi)力做功的代數(shù)和取決于力和在力的方向上發(fā)生的相對(duì)位移，跟參照物的選取無關(guān)。此結(jié)論有兩個(gè)特例：
（1）若內(nèi)力為恒力，則一對(duì)內(nèi)力（作用力與反作用力）做功的代數(shù)和數(shù)值上等于其中一個(gè)力和在力的方向上發(fā)生的相對(duì)位移大小的乘積。如一對(duì)大小不變的滑動(dòng)摩檫力做功的代數(shù)和（為負(fù)值）的絕對(duì)值等于摩檫力的大小與相對(duì)位移大小的乘積，用來量度系統(tǒng)的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的那部分能量。
（2）若兩個(gè)物體在內(nèi)力的方向上發(fā)生的相對(duì)位移為零，或者兩個(gè)物體在內(nèi)力方向上始終保持相對(duì)靜止，則該對(duì)內(nèi)力做功的代數(shù)和為零。如一對(duì)靜摩檫力做功的代數(shù)和為零，因此不會(huì)使系統(tǒng)的機(jī)械能發(fā)生變化。
二、結(jié)論的應(yīng)用
內(nèi)力做功與系統(tǒng)機(jī)械能守恒。
系統(tǒng)內(nèi)只有保守內(nèi)力做功，非保守內(nèi)力（如摩檫力）和一切外力所做的總功為零時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)各物體的動(dòng)能和勢(shì)能可以相互轉(zhuǎn)化，但它們的總量保持不變。這就是系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律。但涉及到內(nèi)力做功問題時(shí)學(xué)生往往搞不清楚。
例1：如圖1所示，小車質(zhì)量M=4kg，車內(nèi)壁ABC為一半徑R=2.4m的半圓，車左側(cè)緊靠墻壁，質(zhì)量m=1kg的小滑塊，從距車壁A點(diǎn)正上方高度為h=2.6m的D點(diǎn)，由靜止下落后滑入車內(nèi)，若不計(jì)一切摩檫，g取10m/s2。（將（1）（2）題正確選項(xiàng)填入題號(hào)前的括號(hào)中）
（1）小滑塊在車上由a滑到C的過程中，滑塊與車的系統(tǒng)（ ）
a.機(jī)械能不守恒. b.機(jī)械能守恒 C。動(dòng)量守恒. d.水平動(dòng)量守恒 (2)小滑塊從C點(diǎn)滑出小車后( )
A.小滑塊水平速度為零. B.小滑塊豎直速度為零. C.小滑塊能上升到原高度. D. 小滑塊不能上升到原高度
(3)求出小滑塊經(jīng)過車右端C點(diǎn)時(shí)相對(duì)地的速度大小。
分析：把M與m作為一個(gè)系統(tǒng)來研究，m在車上從AC的過程中，m與M在徑向方上始終保持相對(duì)靜止（即m始終未脫離圓弧軌道）有兩層含義：（1）在相互作用的彈力（內(nèi)力）方向上，M與m相對(duì)位移為零，故M與m之間的彈力（支持力與彈力）做功代數(shù)和在任一微小過程中都為零。因此，對(duì)系統(tǒng)來說，除重力做功外，其它力不做功或做功代數(shù)和始終為零，機(jī)械能守恒。（2）在徑向方向上，M與m始終具有相同分速度（因?yàn)閙與M在徑向方向保持相對(duì)靜止），當(dāng)m經(jīng)過車右端時(shí)徑向方向變?yōu)樗?故此時(shí)二者在水平方向具有相同速度(即小滑塊水平分速度與車的速度相同)。
在m與M相互作用的過程中，從AB過程，系統(tǒng)受到墻壁的彈力（外力），但不做功，機(jī)械能守恒，動(dòng)量不守恒；從BC過程，系統(tǒng)在水平方向不受外力作用，故系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，且機(jī)械能守恒。
解：（1）B；（2）D；（3）小滑塊m由DB過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有mg（R+h）= mv2，∴v==10m/s。
m由BC，系統(tǒng)水平動(dòng)量守恒，末狀態(tài)m在水平方向與M有共同速度v2， 根據(jù)動(dòng)量守恒定律有mv=（m+M）v2， ∴v2=2m/s。
設(shè)m在C點(diǎn)的機(jī)械能為Em，m相對(duì)地面的速度為v1，則根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律 ：
mv2=Mv22+Em，
∴Em=mv2–Mv22=50J–8J=42J
又 m的機(jī)械能Em=mgR+mv12，∴v1==6m/s，即m離開C時(shí)的速度為v1=6m/s。
例2：如圖2所示，輕桿兩端各系一質(zhì)量為m的小球A、B，輕桿可繞過O點(diǎn)的光滑水平軸在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。A球到O的點(diǎn)距離為L1，B球到O點(diǎn)的距離為L2，且L1>L2, 輕桿水平時(shí)無初速釋放小球。不計(jì)空氣阻力，求桿豎直時(shí)兩球的角速度大小。
分析：因輕桿與兩小球A、B組成的系統(tǒng)可視為整體，且整體內(nèi)任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的距離保持不變，即任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)位移為零，故系統(tǒng)內(nèi)任何一對(duì)內(nèi)力所做功代數(shù)和為零。因此對(duì)輕桿與兩小球A、B組成的系統(tǒng)而言，只有重力做功，所以系統(tǒng)機(jī)械能守恒。其中，輕桿的質(zhì)量可忽略，即輕桿的機(jī)械能與A、B兩球的機(jī)械能相比也可以忽略。這樣，A、B兩球的機(jī)械能近似守恒。
解：設(shè)桿豎直時(shí)A、B兩球速度分別為VA和VB，角速度為（取O點(diǎn)所在水平面為零勢(shì)能面）。根據(jù)A、B系統(tǒng)機(jī)械能守恒得 0=mgL2+（1/2）mVB2--mgL1+（1/2）mVA2
又VA=L1，VB =L1 ，∴=
2、內(nèi)力做功與系統(tǒng)動(dòng)能定理
動(dòng)能定理既對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)成立，又對(duì)一個(gè)系統(tǒng)（質(zhì)點(diǎn)系）成立。
系統(tǒng)的動(dòng)能定理內(nèi)容：系統(tǒng)動(dòng)能的增量，等于作用于系統(tǒng)的所有外力和內(nèi)力做功的代數(shù)和。表達(dá)式為 +=-
在應(yīng)用系統(tǒng)的動(dòng)能定理解題時(shí)，特別要注意內(nèi)力所做功的代數(shù)和。下 面舉例說明：
例3 如圖3所示，質(zhì)量是2.0kg的小車放在光滑水平面上，在小車右端放一質(zhì)量為1.0kg的物塊，物塊與小車之間的動(dòng)摩檫因數(shù)為0.5,當(dāng)物塊與小車同時(shí)分別受到左F1=6.0N拉力和水平向右F2=9.0N的拉力,經(jīng)過0.4s同時(shí)撤去兩力，為使物塊不從小車上滑下，求小車最少要多長（g取10m/s）
解：對(duì)物塊，由牛頓第二定律得 F1-mg=ma1 ∴a1==1.0m/s2 0.4s末速度v1=a1t=0.4m/s
0.4s內(nèi)位移s1=at2=0.08m
對(duì)小車, 由牛頓第二定律得 F2-mg=Ma2，
∴a2==2.0m/s2
0.4s末速度v2=a2t=0.8m/s
0.4s內(nèi)位移s2=a2t2=0.16m
撤去兩力后,最終兩者達(dá)到共同速度,由動(dòng)量守恒定律得 Mv2-mv1=(M+m)v ∴v==0.4m/s,向右對(duì)全過程,應(yīng)用系統(tǒng)的動(dòng)能定理得
F1s1+F2s2 -mgs=(M+m)v2 解得 s=0.336m ,即小車至少長0.336m。
說明:此題系牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、動(dòng)量守恒定律及系統(tǒng)的動(dòng)能定理于一身,是一道力學(xué)學(xué)科內(nèi)綜合的好題。
例4：相隔一定距離的A、B兩球，質(zhì)量相等，假定它們之間存在恒定的斥力作用。原來兩球被按住，處于靜止?fàn)顟B(tài)�，F(xiàn)突然松開兩球，同時(shí)給A球以速度v0，使之沿兩球連線射向B球，B球初速度為零。若兩球間的距離從最小值（兩球未接觸）到剛恢復(fù)原始值所經(jīng)歷的時(shí)間為t0 ，求B球在斥力作用下的加速度。
分析：松開后，A球做初速度為v0勻減速運(yùn)動(dòng)，B球做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)。這樣，A球追及B球，當(dāng)二者速度相等時(shí)A與B球的距離最近。又A與B系統(tǒng)所受的和外力為零，因此系統(tǒng)的動(dòng)量守恒。從開始釋放到距離剛好恢復(fù)原始值的過程中，A相對(duì)B的相對(duì)位移為零，相互作用的斥力做功的代數(shù)和為零，可以應(yīng)用系統(tǒng)的動(dòng)能定理解題。
解：設(shè)每個(gè)小球的質(zhì)量為m，A、B的距離剛恢復(fù)到原始值時(shí)，A球的速度為v1，B球的速度為v2，當(dāng)A、B的距離最小時(shí)二者的速度相等,用u表示。根據(jù)動(dòng)量守恒定律得
mv0=mv1+mv2 ① mv0=（m+m）u ②
又從開始釋放到距離剛好恢復(fù)原始值的過程中, A相對(duì)B的相對(duì)位移為零，故相互作用的斥力做功的代數(shù)和為零，根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)能定理得 0=mv02-(mv12+mv22) ③
聯(lián)立①③解得 v1=0,v2=v0 由②得 u=v0/2 。
對(duì)B球，根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得 v2=u+at0 ∴a== 。
3、內(nèi)力做功與系統(tǒng)機(jī)械能變化的關(guān)系。
涉及系統(tǒng)的機(jī)械能和其它形式的能量之間的轉(zhuǎn)換問題時(shí)，有時(shí)用內(nèi)力做功的代數(shù)和來量度。
例5：在光滑的'水平軌道上有兩個(gè)半徑都是r的小球A和B，質(zhì)量分別為m和2m，當(dāng)兩小球心間的距離大于L（L>2r）時(shí)，兩球間無相互作用力；當(dāng)兩球心間的距離等于或小于L時(shí)，兩球間存在相互作用的恒定斥力F。A球從遠(yuǎn)離B球處以速度v0沿兩球心連線向原來靜止B球運(yùn)動(dòng)，如圖4所示。欲使兩球不發(fā)生接觸，v0必須滿足什么條件？
分析：從兩球發(fā)生相互作用時(shí)起，A球?qū)p速運(yùn)動(dòng)而B球?qū)⒓铀龠\(yùn)動(dòng)，即為速度大者（A球）減速追速度小者（B球），當(dāng)兩球速度相等時(shí)它們的距離最近，若此時(shí)兩球的距離大于2r，就不會(huì)發(fā)生接觸。在求解此題時(shí)，注意到對(duì)A、B系統(tǒng)，只有內(nèi)力做功，而且，這一對(duì)斥力做功的代數(shù)和為負(fù)值 ，等于系統(tǒng)的機(jī)械能的增量。又系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，可以求出距離相等時(shí)的速度。這樣可以求出v0滿足什么條件了。
解：如圖5所示，從兩球發(fā)生相互作用時(shí)起到距離最近，A相對(duì)B的相對(duì)位移為s，要使A、B不發(fā)生接觸，應(yīng)滿足條件 s<L- 2r ①
對(duì)系統(tǒng)，外力做功為零，內(nèi)力做功的代數(shù)和為-Fs，（設(shè)距離相等時(shí)的速度為v）根據(jù)功能關(guān)系知系統(tǒng)的機(jī)械能的增量等于相互作用的斥
力（內(nèi)力）做功的代數(shù)和，即
-Fs=（m+2m）v2-mv02 ②
根據(jù)動(dòng)量守恒定律得 mv0=（m+2m）v ③
聯(lián)立①②③式解得 V0<
初動(dòng)能均為E0的質(zhì)子和 粒子僅在相互之間的靜電力作用下沿同一直線相向運(yùn)動(dòng)（如圖6所示），經(jīng)過一段時(shí)間后，其中一個(gè)粒子的動(dòng)能變?yōu)槌鮿?dòng)能的1/4，且這兩個(gè)粒子構(gòu)成的系統(tǒng)的電勢(shì)能小于當(dāng)初的電勢(shì)能。
設(shè)運(yùn)動(dòng)中這兩個(gè)粒子并未相碰，求此過程中系統(tǒng)的電勢(shì)能減少了多少？
分析：兩個(gè)粒子在相互作用的過程中遵循的規(guī)律有：
①質(zhì)子和粒子系統(tǒng)的動(dòng)量守恒。②質(zhì)子和粒子系統(tǒng)的能量守恒，即質(zhì)子和粒子系統(tǒng)的電勢(shì)能和動(dòng)能之和保持不變。③若質(zhì)子和粒子相互之間的靜電力（內(nèi)力）做功代數(shù)和為正，則系統(tǒng)的電勢(shì)能將減少；反之，質(zhì)子和粒子相互之間的靜電力（內(nèi)力）做功代數(shù)和為負(fù)，則系統(tǒng)的電勢(shì)能將增加。
質(zhì)子和粒子相互之間的靜電力（內(nèi)力）做功代數(shù)和取決于質(zhì)子和粒子之間的相對(duì)位移。由題意知，系統(tǒng)的電勢(shì)能小于當(dāng)初的電勢(shì)能，質(zhì)子和粒子相互之間的靜電力（內(nèi)力）做功代數(shù)和應(yīng)為正，則末狀態(tài)質(zhì)子和粒子之間的距離必大于當(dāng)初的距離，至少有一個(gè)粒子已經(jīng)反向運(yùn)動(dòng)。在這過程中質(zhì)子和粒子之間的距離，先減小后增大，恢復(fù)到當(dāng)初的距離后，距離繼續(xù)增大。
解：設(shè)質(zhì)子的初速度為v0，取它的方向?yàn)檎较�，則粒子的初速度為-v0/2，某一時(shí)刻兩粒子之間的距離等于當(dāng)初的距離，此時(shí)質(zhì)子的速度為v1，粒子的速度為v2 。
從開始到距離為原值的過程中，質(zhì)子和粒子相互之間的靜電力（內(nèi)力）做功代數(shù)和為零，則系統(tǒng)的電勢(shì)能變化量為零，根據(jù)功能關(guān)系知系統(tǒng)的機(jī)械能的變化量也為零，即：
mv02+（4m）（-）2=mv12+(4m)v22 ①
根據(jù)動(dòng)量守恒定律得 mv0-4m()=mv1+4mv2 ②
聯(lián)立①②解得 v1=-v0 ,v2= 說明質(zhì)子和粒子均反向，且都正在做加速運(yùn)動(dòng)，質(zhì)子的動(dòng)能已超過初動(dòng)能，粒子的動(dòng)能還小于初動(dòng)能的，但在逐漸增加。故當(dāng)質(zhì)子、粒子之間距離超過當(dāng)初的距離后，動(dòng)能變?yōu)槌鮿?dòng)能的的粒子應(yīng)是粒子。
設(shè)質(zhì)子的初動(dòng)量為P0 ，則粒子的初動(dòng)量為-2P0 ，當(dāng)粒子的動(dòng)能變?yōu)镋0時(shí)，它的動(dòng)量為P0，此時(shí)質(zhì)子的動(dòng)量用P表示，由動(dòng)量守恒定律得
P0+（-2P0）=P+P0
∴P=-2P0
此時(shí)質(zhì)子的動(dòng)能為E===4=4E0
∴此過程中系統(tǒng)的動(dòng)能增量為 △E=（E0+4E0）-2E0=E0
根據(jù)能量守恒定律△E=△ε得系統(tǒng)的電勢(shì)能的減少量為△ε=E0 。
說明：此題若應(yīng)用假設(shè)法來解此題，有四種可能情況，要根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律逐一排除，較為復(fù)雜，在這里不再敘述。
以上通過舉例說明內(nèi)力做功在高中物理中容易出現(xiàn)的幾種情況。內(nèi)力做功在高中物理中是一個(gè)難點(diǎn)，往往很多教師避而不談，本人認(rèn)為這不是解決問題的辦法，應(yīng)該給學(xué)生講清內(nèi)力做功的幾種特殊情況（如本文介紹）。以上是本人的一些陋見。若有不妥之處，請(qǐng)專家和同行批評(píng)指正。
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