Peirce*邏輯代數(shù)

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現(xiàn)代常被人們追溯到她的奠基人Frege (Lebniz是先驅(qū)者的地位)；接著談現(xiàn)代邏輯，人們會(huì)自然地找到其身后的Peano、Russell、Whitehead、Wittgenstein、Carnap(維也納學(xué)派時(shí)期)、Quine等人，如此就認(rèn)為是勾勒出了現(xiàn)代邏輯的脈絡(luò)。這一看法多年來幾乎是毫無異議的。但隨著邏輯科學(xué)尤其是現(xiàn)代邏輯的不斷發(fā)展，有潛心思考的研究者（Fisch、Zeman、Hinttika等）發(fā)現(xiàn)了那多年來一直被忽視但卻蘊(yùn)藏在現(xiàn)代邏輯誕生之初的分歧，認(rèn)為分歧之中與權(quán)威相對(duì)的另一面應(yīng)該值得重新或深入的研究，這另一面就是由Boole開始經(jīng)由Peirce、Schröder直至后期Carnap、Tarski、Skolem等人維持的一條路線，它可看作是對(duì)邏輯基礎(chǔ)研究的另一途徑或方法（approach）。著名Peirce研究學(xué)者Ｍ.Ｈ.Fisch一語道出這一分歧的實(shí)際情形：“但Boole-Peirce-Schröder (在下文中我們簡寫為ＢＰＳ)路線不是被Frege-Peano-Russell-Whitehead (在下文我們簡寫為ＦＰＲ)路線取代了嗎？不；它只是被掩蓋了�！�

在ＢＰＳ傳統(tǒng)中，Peirce（1839---1914）是位極其重要的人物，這倒不僅是因?yàn)樗�天才般的思維和對(duì)和邏輯史上后來工作者的實(shí)際影響（美國本土哲學(xué)家James、Dewey、Mead、Lewis等無不受其影響，甚至歐洲大陸的K.O.Apel等人的思想也多直接源于Peirce），也不僅是因?yàn)樗�涉足領(lǐng)域的廣泛（除哲學(xué)和邏輯學(xué)之外，還有、天、學(xué)、學(xué)、化學(xué)、大地測量、學(xué)、現(xiàn)象學(xué)等等）；而主要是因?yàn)樗�在現(xiàn)代邏輯理論史上的諸多實(shí)質(zhì)性的貢獻(xiàn)。我們已經(jīng)很難他敏銳的洞察力到底涉及到多少邏輯貢獻(xiàn)，但根據(jù)迄今為止Peirce學(xué)者的研究成果，以下的領(lǐng)域是當(dāng)然的和主要的：形式邏輯（主要是對(duì)傳統(tǒng)邏輯的改進(jìn)）、邏輯代數(shù)、關(guān)系邏輯、命題邏輯、謂詞邏輯、三值邏輯、模態(tài)邏輯、語言邏輯、邏輯哲學(xué)、歸納邏輯以及邏輯史研究。

Peirce早期的邏輯研究（從1865年到約1885年）主要集中于邏輯代數(shù)。在當(dāng)時(shí)，布爾邏輯剛創(chuàng)立不久，布爾的追隨者很多，著名的有Venn、Schröder、De Morgon等人，他們之間的研究有相互啟發(fā)與借鑒之處（有關(guān)貢獻(xiàn)的紛爭，可參看Kneale的《邏輯學(xué)的發(fā)展》），但主要還是相互獨(dú)立的。Peirce就是其中一位極具獨(dú)立性又最有創(chuàng)新的突出人物。身為著名數(shù)學(xué)家Benjamin Peirce（美國當(dāng)時(shí)科學(xué)界的一權(quán)威）的兒子，Peirce本人也是一數(shù)學(xué)家，他對(duì)于代數(shù)在邏輯中的應(yīng)用，得心應(yīng)手，他甚至曾把“三段論”作為“聯(lián)結(jié)詞的代數(shù)”來研究。事實(shí)上，當(dāng)時(shí)的符號(hào)邏輯就是邏輯代數(shù)（algebra of logic）。



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在Peirce看來，現(xiàn)代邏輯的研究實(shí)質(zhì)上就是代數(shù)到邏輯的一場“類推(analogy)”，這種“類推”的前提，首先就是對(duì)代數(shù)中的符號(hào)的選擇。不同的邏輯代數(shù)研究者都有著自己的選擇，它們或者是從代數(shù)中原封不動(dòng)地引入，或者是對(duì)代數(shù)中的相關(guān)符號(hào)做出邏輯意義上的改進(jìn)。我們這里從Peirce邏輯代數(shù)研究中所運(yùn)用的諸多符號(hào)中選取以下主要的幾個(gè)，其中有的是Peirce本人獨(dú)創(chuàng)性地提出，有的是Peirce同其他人同時(shí)提出和使用，有的是BPS傳統(tǒng)所特有的：

一、包含于（inclusion in 或 is或as small as）符號(hào)“—<”（它是“≤”的一種方便的寫法）的引入。這是最重要的一點(diǎn)，它被Peirce本人多次提到，也被后來的研究者所普遍注意。但Peirce本人稱，這一符號(hào)是由他和H.McColl同時(shí)引入的。Peirce這樣定義“—<”：

1、A —< A，無論A是什么；

2 、若A —< B，且B —< C，則A —< C。

他說，這樣的定義雖然未區(qū)分開包含關(guān)系和包含于關(guān)系，但為形式邏輯目的，卻是足夠的。Peirce看到包含于符號(hào)具有邏輯上的優(yōu)點(diǎn)：首先，原來布爾的符號(hào)只能表達(dá)，物的某種描述不存在，而不能說某物不存在；而使用包含于和非包含于（ —<（超文本閱讀注釋：要在這一符號(hào)上方加一橫線）），“Griffin(一種怪獸) —<　噴火”意思就是，“不存在不噴火的Griffin”；同樣“動(dòng)物 —<（超文本閱讀注釋：要在這一符號(hào)上方加一橫線）水生的”意思為，“存在不是水生的動(dòng)物”。Peirce這種特別的解釋很容易使我們想起前些年一直討論的傳統(tǒng)三段論中的主詞存在問題；同時(shí)符號(hào)“—<”的解釋也使我們聯(lián)想到現(xiàn)在邏輯研究中廣泛運(yùn)用的實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵符號(hào)“→”（其實(shí)，關(guān)于實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵，Peirce有更清楚的表達(dá)：從“x—< y”推到“是y（超文本閱讀注釋：要在這一字母上方加一橫線）的x —<（不可能）”）。其次，在布爾的演算中經(jīng)常用到的相等號(hào)或等值號(hào)“ = ”是一種更加復(fù)雜，即有著更大內(nèi)涵（comprehension）或深度(depth)的關(guān)系，而相比之下，“—<”則更為簡單方便，我們可以說A=B蘊(yùn)涵A—
關(guān)于Peirce的“—<”符號(hào)，還有一點(diǎn)值得一提。在談到這一系詞的三個(gè)屬性時(shí)，Peirce做出了卓有見識(shí)的引申。他說，對(duì)于包含（containing）關(guān)系，我們可有著不同于通常“—<”的理解，從而會(huì)得到與之平行的幾種邏輯學(xué)說。若令 a—<´ b意為a同b一樣小，除了在a同某物一樣小時(shí)而b不能同這一物一樣小之外，a 、b之間沒有什么不同；則我們可得到數(shù)學(xué)或量的邏輯學(xué)。若令a—<´´ b意為所有b是a，除了有a能謂述的某物而b不能謂述之外，a 、b之間沒有什么不同；這樣我們所得到的，在另一方面就僅僅是邏輯學(xué)。若令a—<´´´ b表示b是a的后承，除了兩者導(dǎo)出的后承不同之外，a 、b沒有什么不同；那么我們得到的將是條件句的邏輯學(xué)。這樣的一種解釋，一方面顯示了“—<”或蘊(yùn)涵在邏輯科學(xué)中的基礎(chǔ)性的重要作用，另一方面也從一極為特別的角度論證了邏輯的多類型。此外，其與后來模型論的思想也有著本質(zhì)上的吻合。

二、包含（inclusive）意義下的邏輯加（符號(hào)為“+（超文本閱讀注釋：要在這一符號(hào)右下方加一逗號(hào)）”，有時(shí)直接用“+”）的使用。Peirce這樣定義邏輯加：

1、A—< A +（超文本閱讀注釋：要在這一符號(hào)右下方加一逗號(hào)） B；

2、B—
3、若A—
符號(hào)“ +（超文本閱讀注釋：要在這一符號(hào)右下方加一逗號(hào)） ”是Peirce在1867年引入的，而（Peirce稱）Jevons在1864年，R.Grassmann在1872年，Schröder在1877年，McColl于1877年也相繼獨(dú)立地提出了這一用法，即不管相互間是否相斥，都使用“+（超文本閱讀注釋：要在這一符號(hào)右下方加一逗號(hào)）”，把不同的項(xiàng)加在一起。這也就是我們常說的區(qū)別于算術(shù)加的邏輯加，或者如現(xiàn)代邏輯中所說的相容析取。譬如“歐洲人 +（超文本閱讀注釋：要在這一符號(hào)右下方加一逗號(hào)） 共和黨人”就表示，把所有歐洲人和共和黨人算在一起，而不用想盡辦法，像在算術(shù)中一樣，把共和黨人加上兩次。但若是Boole和Venn，他們就會(huì)寫成“歐洲人+ （超文本閱讀注釋：要在這一符號(hào)右下方加一逗號(hào)）非歐洲人的共和黨人”或“非共和黨人的歐洲人+（超文本閱讀注釋：要在這一符號(hào)右下方加一逗號(hào)）共和黨人”，這對(duì)于邏輯來說，顯然是種不必要的麻煩 。

三、對(duì)“1”的理解。同布爾（而論域的概念最初是由De Morgon引入的）一樣，Peirce在邏輯上把“1”看作有限論域（limited universe of discourse），而不是無限的全體域（an unlimited universe）。他認(rèn)為，無限域?qū)�包括邏輯上可能的所有領(lǐng)域。在這樣一個(gè)全域中，每一全稱命題，如果不是重言的，就是假的；每一特稱命題，如果不是荒謬的，就是真的。我們的談話很少涉及這種全域，我們倒是經(jīng)常想起物理上可能的，或上存在的，或有某種虛構(gòu)的世界，或是其它的有限域。這樣的一種觀點(diǎn)可認(rèn)為是BPS路線的一特色之處，年僅23歲就去世的法國著名邏輯學(xué)家Herbrand正是在一方面接受并重視了這樣一種認(rèn)識(shí)，另一方面精心研究《數(shù)學(xué)原理》系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，在謂詞邏輯等現(xiàn)代邏輯理論上做出了突出貢獻(xiàn)。事實(shí)上，在邏輯史上這樣一種觀點(diǎn)支持了包括可能世界理論（模態(tài)邏輯）、模型論、邏輯語義學(xué)和元邏輯理論等在內(nèi)的一系列理論。然而，與以上有限域的認(rèn)識(shí)截然不同的觀點(diǎn)確實(shí)在過去以及現(xiàn)在的邏輯學(xué)家中存在，最為典型的是Wittgenstein，其名言“一切真命題都是重言式”和“邏輯命題描述世界的腳手架”的提出，正是基于一種無限域的認(rèn)識(shí)；他把現(xiàn)實(shí)世界與我們的語言（認(rèn)為，我們只有一種自然語言或人工語言）一一對(duì)應(yīng)起來，認(rèn)為我們對(duì)任何系統(tǒng)都只有一種解釋，任何時(shí)候我們都不能跳出我們唯一的語言之外去言說我們自己。

四、其它符號(hào)。 以下我們將通過定義或描述的方法列出Peirce的另一些符號(hào)：邏輯等即等值“ = （超文本閱讀注釋：要在這一符號(hào)下方加一逗號(hào)）”，與算術(shù)上的等號(hào)相區(qū)別，但Peirce在很多時(shí)候，干脆把它寫為“ = ”，只是在邏輯上仍與符號(hào)“=（超文本閱讀注釋：要在這一符號(hào)下方加一逗號(hào)）”含義一樣。邏輯乘（符號(hào)為“，”）定義為：

1、A，B—< A；

2、A，B—< B；

3、若C—
“有（what it is）”定義為：x—< 1，不論x是什么；而“無（nothing）”定義為：0 —< x，不論x是什么。在“A（超文本閱讀注釋：要在這一字母上方加一口朝上的半圓�。� —< B（打印注釋：要在這一字母上方加一橫線）”中，A（超文本閱讀注釋：要在這一符號(hào)上方加一口朝上的半圓�。┍硎尽耙恍〢”，B（超文本閱讀注釋：要在這一符號(hào)上方加一橫線）表示“非B ”。 量詞符號(hào)：Π和Σ分別代表“所有”和“一些”。還有，包含以上符號(hào)的公式 x (1—y) = 0; x y = 0; x y ≠ 0; x (1—y) ≠ 0，它們或許是我們最為熟悉的。



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以上所談Peirce的些許理論，當(dāng)然不能概括出他全部的理論精華；其研究廣度如上文所述，而且每一領(lǐng)域都有著獨(dú)創(chuàng)性或突破性的貢獻(xiàn)。但是，歷史，包括邏輯史，好象總愛玩弄一種“狡計(jì)”：天才總在歷史的車輪繼續(xù)開向前時(shí)才能被發(fā)現(xiàn)和認(rèn)同，如Frege的《概念文字》和《算術(shù)基礎(chǔ)》在發(fā)表數(shù)年之后，才被Russell和Carnap首先給予重視；Peirce的命運(yùn)比Frege來得更壞，倒是他哲學(xué)上的實(shí)用主義理論在提出數(shù)年之后也被James給予了贊譽(yù)，稱他為“實(shí)用主義的鼻祖”；但是，正如Russell所說，“我們通常把Peirce看作是實(shí)用主義的創(chuàng)始人。但是這種看法需要認(rèn)真加以限制�，F(xiàn)代的實(shí)用主義不是出自Peirce，而是出自W.James以為Peirce說過的話。”“他的實(shí)效主義（pragmaticism）和James的實(shí)用主義（pragmatism）并沒有多大關(guān)系�！备�何況Peirce的邏輯貢獻(xiàn)只是在比James更晚的時(shí)間才尋到了“伯樂”。

Peirce的研究狀況在國內(nèi)尤為糟糕。哲學(xué)上，人們提到實(shí)用主義，首先會(huì)談到James，恐怕只有讀過James的人才會(huì)知道P

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　　eirce，而且多少年來，我們對(duì)Peirce的理解仍舊停留在James階段，即《通俗科學(xué)雜志》上的兩篇文章：《如何使我們的觀念清楚明白》和《信念的確定》。在上，也沒有更好，就是目前我們也很難在某一著作或雜志上找到一篇稍長一點(diǎn)的簡介；與Frege相比，我們言現(xiàn)代邏輯，必談Frege，卻總談不到Peirce。難道說，Peirce真的不重要嗎？當(dāng)然不是！國外多年來的研究以及諸多家和邏輯學(xué)家（Beth、Lewis、Tarski、Copi和Hintikka等等）受益于其理論的事實(shí)已經(jīng)表明了這一點(diǎn)。筆者認(rèn)為Peirce邏輯理論中至少以下的幾點(diǎn)應(yīng)該在目前國內(nèi)邏輯學(xué)界引起重視：

首先，應(yīng)明確Peirce所代表的BPS路線是屬于代數(shù)方法（algebraic approach）的，完全不同于Frege所代表的公理化方法（axiomatic approach）的路線。Peirce曾專門談到，“邏輯符號(hào)系統(tǒng)的目的”“僅僅且只是邏輯理論的研究（investigation），根本不是建構(gòu)一個(gè)輔助推理的演算”；“為邏輯理論設(shè)計(jì)的系統(tǒng)應(yīng)該是盡可能分析的（analytical），把推理分為盡可能多的步驟，把它們都展示于盡可能最一般的范疇之下�！币虼�，我們不能期望從Peirce那里找到優(yōu)于或并列于Frege、Peano、Russell等人的所謂標(biāo)準(zhǔn)公理系統(tǒng)的演算。評(píng)價(jià)Peirce我們決不能以ＦＰＲ傳統(tǒng)的觀點(diǎn)和標(biāo)準(zhǔn)，而要以全面的現(xiàn)代邏輯觀點(diǎn)：包括各種標(biāo)準(zhǔn)和非標(biāo)準(zhǔn)邏輯、邏輯哲學(xué)和哲學(xué)邏輯都在內(nèi)的正在發(fā)展著的現(xiàn)代邏輯思想，立足于邏輯的核心：推理，緊緊圍繞邏輯的目的：設(shè)法增進(jìn)我們推理的有效性，來進(jìn)行實(shí)事求是的、無偏見的重新認(rèn)識(shí)或者是第一次認(rèn)識(shí)。展開來說，對(duì)Peirce的正確評(píng)價(jià)，其實(shí)涉及到我們邏輯研究視角的轉(zhuǎn)換和拓展；任何時(shí)候，我們都千萬不要把邏輯形式系統(tǒng)的建構(gòu)與豐富而深刻的邏輯理論研究等同起來，對(duì)于真正的邏輯理論研究，我們既不能滿足于煩瑣概念的詭辯游戲，同樣也不能是僅僅的抽象符號(hào)的純演算，要記著，我們所采用的一切手段和工具都服務(wù)于我們心中永恒的邏輯目的：（邏輯）有效性的增進(jìn)，（邏輯）真的追求。

其次，Peirce從對(duì)Aristotle邏輯的深入分析和對(duì)邏輯史的細(xì)致研究（Peirce曾建立有自己的邏輯）以及對(duì) Kant理論的批判性發(fā)展出發(fā)，來做出自己的邏輯研究，他對(duì)邏輯的態(tài)度始終是不帶偏激、不遺殘缺的。表現(xiàn)在邏輯與的關(guān)系上，他早就提出，邏輯不能歸結(jié)于數(shù)學(xué)，同樣數(shù)學(xué)也不可能歸結(jié)于邏輯；從而避免了走向Frege 和Russell他們邏輯主義的死胡同。表現(xiàn)在對(duì)于一階邏輯的態(tài)度上，Peirce并不像Quine（在Frege那里也隱含著）那樣宣稱，如果誰不知道一階邏輯，誰就對(duì)邏輯毫無理解，全部邏輯也就只是一階邏輯；在他看來自我同一的量化理論只是眾多邏輯系統(tǒng)中的一個(gè)，他常常設(shè)法給出一階邏輯的更為深刻的基礎(chǔ)并拓展這一范圍，他說，說數(shù)學(xué)演示方法是唯一普遍有效的，這正是邏輯學(xué)家們視之為謬誤而要避免的。

再次，Peirce對(duì)待形式化的思想無疑包含了模型論的全部要義。Peirce有著自己的邏輯代數(shù)等演算，但他更注重它們的解釋；他相信，真正重要的不是什么形式系統(tǒng)，而是潛在的所表達(dá)的實(shí)在（realities），我們可自由地根據(jù)不同場合選擇我們不同的系統(tǒng)。

最后，Peirce得益于早期在對(duì)邏輯代數(shù)研究中形成的符號(hào)邏輯系統(tǒng)目的即邏輯理論研究的思想，使他沒有局限于使用代數(shù)的符號(hào)，而又采取了圖表（graph）符號(hào)，進(jìn)而形成了他著名的存在判斷圖表系統(tǒng)α、β、γ，并最終達(dá)到了“大邏輯”（a broad sense of logic）--“符號(hào)（sign）”或“象標(biāo)（iconicity）”的理論的認(rèn)識(shí)。其存在判斷圖表（existential graphs）理論，在近年來基于的圖表推理表示法發(fā)展之后，被應(yīng)用于人工智能領(lǐng)域，甚至IBM的一研究者John Sowa，奠基于這一理論又發(fā)展出了一概念圖表（conceptual graphs）。

上述Peirce的一系列觀點(diǎn)，在今天處于邏輯科學(xué)前沿的Hintikka、Ｊ.Ｖ.Ｈeijenoort等人那里得到了熱烈呼應(yīng)，他們把Peirce稱為的模型論觀點(diǎn)的一標(biāo)準(zhǔn)成員（integral member）來對(duì)待，并把他與Husserl并提，用來對(duì)抗由Frege到Heidegger的“作為語言的邏輯（logic as language）”的傳統(tǒng)（其核心觀點(diǎn)是，現(xiàn)實(shí)世界是語言的唯一解釋，不存在多數(shù)可能的世界，從而否定模態(tài)邏輯的合法性，否認(rèn)真理的可判定性或主張“真”的無法言說（ineffable））。



主 要 參 考 文 獻(xiàn)

Peirce,Charles Sanders Collected Papers Of Charles Sanders Peirce edited by Charles Hartshorne and Paul Weiss The Belknap Press Of Harvard University Press ,1931-1935.

Peirce,Charles Sandes Writings of CHARLES S. PEIRCE ( A Chronological Edition ) edited by Edward C. Moore ,Indiana University Press 1984.

Peirce,Charles Sanders logic , symbolic logic 詞條 Dictionary of Philosophy and Psychology edited by James Mark Baidwin, The Macmillan Company, 1925.

Peirce,Charles Sanders Philosophical Writings of Peirce selected and edited by Justus Buchler, Dover Publications,Inc.,1955.

Hintikka,Jakko Lingua Universalis vs. Calculus Ratiocinator Kluwer Academic Publishers,1997.

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