師范學(xué)院畢業(yè)論文開題報(bào)告
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課題名稱： 級(jí)數(shù)的應(yīng)用
一、 摘要;通過典型的例題 述了泰勒公式在求解極限，判定級(jí)數(shù)及廣義積分?jǐn)咳苑矫婧陀?jì)算行列式方面的應(yīng)用及技巧。
一般的教科書都著重介紹級(jí)數(shù)的收斂性的判別法，以及如何將滿足條件的函數(shù)展開成單位圓內(nèi)的泰勒級(jí)數(shù)，但對(duì)級(jí)數(shù)的應(yīng)用講得很少，本課題介紹了級(jí)數(shù)在無窮小的比較，求極限、求導(dǎo)數(shù)、求近似值以及求解微分方程中的應(yīng)用。作為數(shù)學(xué)分析的一個(gè)工具,無窮級(jí)數(shù)起著不可低估的作用。利用無窮級(jí)數(shù)可以將一些復(fù)雜的代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)展成簡單形式，然后對(duì)其進(jìn)行逐項(xiàng)微分或積分，進(jìn)而對(duì)這些函數(shù)處理起來得心應(yīng)手。隨著分析的嚴(yán)密化,無窮級(jí)數(shù)理論逐漸形成，從而推動(dòng)了數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。
二、 本課題所涉及的問題在國內(nèi)(外)研究現(xiàn)狀及分析
級(jí)數(shù)只是一種數(shù)學(xué)工具,它本身并不構(gòu)成數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立的分支,但是自從級(jí)數(shù)創(chuàng)立后，它的作用和意義得到了越來越多的重視，利用級(jí)數(shù)已經(jīng)取得了很好的成果，可以很方便的解決許多實(shí)際中的問題， 因此國內(nèi)外對(duì)它的研究十分重視并取得了豐碩的成果。
三、對(duì)課題提出的任務(wù)要求及實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)的研究方案和可行性分析
(一)任務(wù)要求
本課題是“研究級(jí)數(shù)在多方面的應(yīng)用”，通過對(duì)本課題的深入研究，學(xué)會(huì)和掌握關(guān)于級(jí)數(shù)在多方面的應(yīng)用.
(二)研究方案
1、收集級(jí)數(shù)的應(yīng)用方面的相關(guān)資料、信息、各種文獻(xiàn);
2、對(duì)收集到的資料、信息進(jìn)行分析、處理、整合;
3、對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行系統(tǒng)整合，撰寫論文初稿。
(三)可行性分析
1、該課題的研究對(duì)象是級(jí)數(shù)，原始材料完整，基礎(chǔ)良好;
2、已初步掌握了一些檢索工具和檢索方法，有助于利用相關(guān)信息資源完成該課題;
3、具備扎實(shí)的專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)和邏輯思維、推理、總結(jié)概括的能力，指導(dǎo)人員知識(shí)充足，經(jīng)驗(yàn)豐富;
4、完成本課題的所需時(shí)間緊;
5、對(duì)圓滿完成該課題充滿信心，并且相信自己有能力做好該課題。
四、本課題需要重點(diǎn)研究的、關(guān)鍵的問題及解決的思路：
級(jí)數(shù)問題和極限問題是分析中的兩個(gè)重要的問題，兩者在數(shù)學(xué)分析中占有重要地位。我們知道級(jí)數(shù)求和問題往往比較困難。部分和 隨n增大時(shí)，項(xiàng)數(shù)越來越多 ，一般情況下不便于求極限。因此我們只能探求其它的`方法。
下面首先重點(diǎn)來研究級(jí)數(shù)與極限之間的某些聯(lián)系，探求級(jí)數(shù)在求解某些極限問題上的重要應(yīng)用;其次簡單看一下級(jí)數(shù)在其它方面的應(yīng)用。
例1. 設(shè)0 求級(jí)數(shù)的和：
乍一看似乎無從下手，因?yàn)榧?jí)數(shù)求和有無窮多項(xiàng)，我們不可能把每一項(xiàng)都相加，那么應(yīng)該怎么辦呢?下面我們通過極限問題來巧妙解決它。
在解題過程中等價(jià)轉(zhuǎn)化思想是不可少的，我們想方設(shè)法把級(jí)數(shù)求和問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為極限問題，如果極限問題能夠順利解決的話，那么級(jí)數(shù)問題也就解決了，具體解法如下：
= = (
+ ( + ( + (
= ，因此 = ( )=
還可以利用部分和的極限求無窮級(jí)數(shù)
例2.求無窮級(jí)數(shù)
解：注意到 =
即知所給級(jí)數(shù)收斂，且其和S為
本題反映了在直接求無窮級(jí)數(shù)不好求的情況下可以轉(zhuǎn)化為求部分和的極限從而得到結(jié)果的思想。
再看一下級(jí)數(shù)與極限的更完美結(jié)合：柯西積分判別法
設(shè) 是[1，+ 上正的單調(diào)下降函數(shù)，則級(jí)數(shù) 收斂的充分必要條件是數(shù)列 收斂。
這個(gè)判別法直接揭示了級(jí)數(shù)與極限結(jié)合的強(qiáng)大生命力，給解決問題帶來了極大的方便。
通過上面幾個(gè)簡單的例子我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到了極限在解決級(jí)數(shù)問題上的奇妙作用。那么級(jí)數(shù)是否也可以用來解決極限問題呢?答案是肯定的.以下是本課題重點(diǎn)研究的:
一. 級(jí)數(shù)收斂性在求解極限問題上的應(yīng)用
1.通過級(jí)數(shù)的收斂性可以求某些數(shù)列的極限
2.可以求極限的存在性
3.可以用來驗(yàn)證某些結(jié)論是否成立。
4.還可以用來驗(yàn)證極限不存在。
二. 級(jí)數(shù)在其他方面的應(yīng)用
1無窮小的比較
2.求導(dǎo)數(shù).
3.求近似值
4.解微分方程
上面就是本課題中的一些大致需要研究的問題和思路，論文中將對(duì)級(jí)數(shù)在各個(gè)方面的應(yīng)用予以具體的例子解釋和說明.
五、完成本課題的工作方案及進(jìn)度計(jì)劃
本課題應(yīng)完成的工作：
1、 鞏固所學(xué)知識(shí),掌握論文寫作的基本規(guī)范與過程.
2、 舉出級(jí)數(shù)在各個(gè)方面應(yīng)用的相關(guān)例子.
3、 以級(jí)數(shù)的收斂性及判別法的基礎(chǔ)為基礎(chǔ)，尋找級(jí)數(shù)在各方面的應(yīng)用.
將函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用到實(shí)際的解題應(yīng)用中，并能運(yùn)用定理解決實(shí)際生活中的問題。
進(jìn)度計(jì)劃：
1-3周:學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)并查閱相關(guān)文獻(xiàn)
4-5周:寫出開題報(bào)告
6-9周:撰寫畢業(yè)論文
10-11周:審定修改論文并定稿
六、主要參考文獻(xiàn)
[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(上、下冊(cè)).高等教育出版社，第三版
[2]郭大鈞 陳玉妹 裘卓明編. 數(shù)學(xué)分析.山東科學(xué)技術(shù)出版社
[3]數(shù)學(xué)概觀.瑞典 L.戈丁 著 科學(xué)出版社
[4]武漢大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(下)[M]. 北京：人民教育出版社，1978.
[5]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].上海：高等教育出版社.2001
[6]陳紀(jì)修等.數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))[M].北京：高等教育出版社。
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