關(guān)于中值定理的開題報告模板
一、選題的根據(jù)
1.選題的來源及意義
微分中值定理是數(shù)學(xué)分析課程中的重要內(nèi)容，同時也是微積分學(xué)的基本定理，是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具。函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)是兩個不同的的函數(shù)，而導(dǎo)數(shù)只是反映函數(shù)在一點(diǎn)的局部特征，如果要了解函數(shù)在其定義域上的整體性態(tài)，就需要在導(dǎo)數(shù)及函數(shù)間建立起聯(lián)系，微分中值定理正好起到了這種作用。它不僅溝通了函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，而且也是微積分學(xué)理論應(yīng)用的橋梁與基石。但其理論性較強(qiáng)，內(nèi)容抽象，在許多的教材中定理的形式單一，導(dǎo)致學(xué)生的興趣不大，同時理解和應(yīng)用起來比較困難，甚至容易得出錯誤結(jié)論。本文針對這一情況，著重論述微分中值的內(nèi)涵以及相互聯(lián)系，希望能運(yùn)用多種方法給出證明，同時對定理的形式和結(jié)論做一些推廣，并給出一些比較好的應(yīng)用.
2.國內(nèi)外研究狀況
人們對微分中值定理的研究，從微積分建立之始就開始了。1637 年，法國著名數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Fermat，1601—1665）在《求最大值和最小值的方法》中給出了費(fèi)馬定理，在許多教科書中，人們通常將它作為微分中值定理的第一個定理。羅爾于1691 年在題為《任意次方程的一個解法的證明》的論文指出了：在多項(xiàng)式方程的兩個相鄰的實(shí)根之間，方程至少有一個根。一百多年后，即1846 年，尤斯托.伯拉維提斯將這個定理推廣到可微函數(shù)，并把此命題命名為羅爾定理。1797 年，法國數(shù)學(xué)家拉格朗日在《解析函數(shù)論》一書中給出拉格朗日定理，并給出最初的證明。對微分中值定理進(jìn)行系統(tǒng)研究的是法國的數(shù)學(xué)家柯西，他是數(shù)學(xué)分析嚴(yán)格化運(yùn)動的推動者，其三部巨著《分析教程》、《無窮小計算教程概論》及《微分計算教程》以嚴(yán)格化為其主要目標(biāo)，對微積分理論進(jìn)行了重構(gòu)。他首先賦予中值定理以重要作用，使其成為微分學(xué)的核心定理。
在《無窮小計算教程概論》中，柯西首先嚴(yán)格的證明了拉格朗日定理，隨后又在《微分計算教程》中將其推廣為廣義中值定理——柯西定理。 國內(nèi)關(guān)于微分中值定理的理論及應(yīng)用的研究工作較多，而且得到了一些較好的結(jié)果。在參考文獻(xiàn)[2]中,作者運(yùn)用推廣與收縮的觀點(diǎn)了揭示了微分中值定理之間的關(guān)系，闡述了微分中值定理在微分學(xué)的地位與作用，同時介紹了微分中值定理在解題中一些相關(guān)應(yīng)用；在參考文獻(xiàn)[4]中，文章把區(qū)間及端點(diǎn)的函數(shù)值推廣為無限，改進(jìn)了相應(yīng)的結(jié)果；在參考文獻(xiàn)[5]中，作者采用了啟發(fā)性教學(xué)及應(yīng)用綜合分析法來構(gòu)造輔助函數(shù)，能達(dá)到理想的教學(xué)效果；在參考文獻(xiàn)[6]中，作者針對在閉區(qū)間端點(diǎn)處不連續(xù)的函數(shù)以及無窮區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)問題作了進(jìn)一步研究，所得結(jié)論推廣和完善了文獻(xiàn)中相應(yīng)的定理；在參考文獻(xiàn)[9]中，文章通過幾個例子具體說明微分中值定理在證明不等式中的應(yīng)用，以及不同中值定理在解決的不等式的區(qū)別；在參考文獻(xiàn)[10]中，作者通過實(shí)例系統(tǒng)地介紹一些較好的證明方法，如輔助函數(shù)法中導(dǎo)出輔助函數(shù)的觀察法、積分法、微分方程法以及待定系數(shù)法，以此為基礎(chǔ)推出若干新的微分中值定理。
3.研究目標(biāo)
在已學(xué)知識和參考文獻(xiàn)的的基礎(chǔ)上，本文從四個方面進(jìn)行考慮：
第一：將證明方法進(jìn)行改進(jìn)；
第二：將定理的條件減弱，對結(jié)論進(jìn)行推廣；
第三：從應(yīng)用的方面進(jìn)行推廣；
第四：對微分中值定理的教學(xué)過程中的講授方法進(jìn)行相關(guān)的探討。
4.本文創(chuàng)新點(diǎn)
本文將詳細(xì)介紹三大中值定理之間的密切聯(lián)系，詳細(xì)闡述如何構(gòu)造輔助函數(shù)，并給出和常規(guī)證法不一樣的證明方法；同時對結(jié)論進(jìn)行了相應(yīng)的推廣，給出一些形式更好和條件更弱的結(jié)果；此外，還將微分中值定理應(yīng)用于解決一些實(shí)際問題，給出一些比較的應(yīng)用。
5.主要參考文獻(xiàn)
[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(第二版)上冊[M] 北京：高等教育出版社.1980.
[2]劉章輝.微分中值定理及其應(yīng)用[J].山西大同大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)報). 2007， 23(2)：79-81.
[3] 張玉蓮，楊要杰.拉格朗日中值定理的推廣[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版). 2008，29(2)：11-12.
[4]高波.微分中值定理的推廣[J].常州工學(xué)院學(xué)報. 2007,20(6):58-62.
[5]張珍珍，吳筠.中值定理數(shù)學(xué)探討[J].九江學(xué)院學(xué)報. 2007，(3)：109-110.
[6]齊春玲，李曉培.關(guān)于羅爾中值定理?xiàng)l件的研究[J].河南科技大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版. 2007，28（5）：96-97.
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[8]宋秀英.關(guān)于微分中值定理的一點(diǎn)注記[J].宜春學(xué)院學(xué)報(自然性科學(xué)). 2007，29(6):46-47.
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[10]張?zhí)�，黃星，朱建國.微分中值定理應(yīng)用的新研究[J].南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報. 2007，7(4)：23-26.
二、采用的研究方法及手段
本文采取的是文獻(xiàn)研究法的：具體采用了數(shù)學(xué)歸納法、分析法、反證法、演繹法等方法.
三、論文的框架結(jié)構(gòu)
微分中值定理的若干推廣及其應(yīng)用
0.引言
1.微分中值定理常見的結(jié)論及證明
1.1 微分中值定理的歷史演變
1.2 Rolle 中值定理及其證明
1.3 Lagrange 中值及其證明
1.4 Cauchy 中值定理及其證明
1.5 Rolle 中值定理、Lagrange 中值、Cauchy 中值定理的區(qū)別及聯(lián)系
2. 微分中值定理的推廣
2.1 Rolle 中值定理的推廣
2.2 Lagrange 中值定理的推廣
2.3 Cauchy 中值定理的推廣
2.4 高階形式的微分中值定理
3. 應(yīng)用
3.1 利用微分中值定理判別根的存在性
3.2 利用微分中值定理證明不等式
3.3 利用微分中值定理求極限
3.4 中值定理在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用
4. 微分中值定理的教學(xué)一些探討
4.1 關(guān)于微分中值定理?xiàng)l件的研究
4.2 微分中值定理在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活的研究
5. 結(jié)論
6. 參考文獻(xiàn)
7. 致謝
四、寫作的階段計劃
第一階段：20xx年11 月29 日——20xx 年03 月10 日，完成初稿
第二階段：20xx 年03 月11 日——20xx 年03 月31 日，完成二稿
第三階段：20xx 年04 月01 日——20xx年04 月21 日，完成三稿
第四階段：20xx年04 月22 日——20xx年05 月09 日，完成四稿
第五階段：20xx年05 月10 日——20xx年05 月15 日，完成定稿
指導(dǎo)老師意見：
指導(dǎo)教師簽名：
x年x月x日
指導(dǎo)委會意見主任簽名：
x年x月x日
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