淺談多種利率的收支問題論文
在保險費率的計算中，起主要作用的是最大期限的利率，其次是不同利率的一個綜合水平。下面是小編整理的淺談多種利率的收支問題論文，希望對你有幫助！
摘要：實際的金融市場中存在多種不同期限的利率。在定義最大累積函數(shù)的基礎(chǔ)上建立了一個稱為“收支問題”的線性規(guī)劃模型，這個模型的最優(yōu)值刻畫了合理安排保費資金的投資期限所能夠達(dá)到的最大保險支付水平，從而給出了多利率條件下壽險費率的計算依據(jù)。使用局部優(yōu)化方法證明了收支問題最優(yōu)解的兩個性質(zhì)，這些性質(zhì)說明在滿足保險支出的條件下，保險收入資金應(yīng)該優(yōu)先考慮期限較長（即利率較大）的投資。對于典型的壽險產(chǎn)品模型，給出了最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)，針對兩個具體實例列出了計算結(jié)果。結(jié)果表明，在保險費率的計算中，起主要作用的是最大期限的利率，其次是不同利率的一個綜合水平。
關(guān)鍵字 多種利率；最大累積函數(shù)；線性優(yōu)化；收支問題；壽險定價
1、引言
與隨機(jī)利率下的大量研究相比，關(guān)于利率期限結(jié)構(gòu)的影響在文獻(xiàn)中卻很少涉及，當(dāng)市場利率水平較高的時候，這種影響并不明顯。以中國為例，從上世紀(jì)八十年代末到九十年代中期一直處于高利率的環(huán)境之中，其中一年期的存款基準(zhǔn)利率最高的時候曾經(jīng)達(dá)到11.34%，在大部分的時間內(nèi)都高于當(dāng)時壽險業(yè)8.8%的預(yù)定利率，所以當(dāng)壽險準(zhǔn)備金采用一年期利率投資生息時，并不會影響未來的保險償付能力，這時候就不會去關(guān)注利率期限結(jié)構(gòu)的影響。但是自從1996年以來，由于宏觀經(jīng)濟(jì)形勢發(fā)生了很大的變化，人民銀行持續(xù)地下調(diào)基準(zhǔn)利率，一年期存款利率最低的時候達(dá)到了1.98%，導(dǎo)致保險監(jiān)管部門將預(yù)定利率調(diào)低到了2.5%。由于新的預(yù)定利率與原來8.8%的水平有較大的差距，所以一度對壽險業(yè)務(wù)的發(fā)展產(chǎn)生了較大的影響，同時當(dāng)一年期利率低于預(yù)定利率時，壽險公司原有的資金運用方法有可能會產(chǎn)生巨大的利差損失�？紤]到一般情況下長期的利率要高于一年期的短期利率，因此就提出了一個問題：我們是否可以通過對壽險資金的投資期限進(jìn)行合理安排以提高保險金的支付能力，或者說提高壽險公司的盈利能力？最大能夠達(dá)到多少？
最優(yōu)解中時間 的保險收入優(yōu)先支付時間 的保險金支出，那么多余的收入是如何支付不足的支出？下面先來考慮一種特殊的情況。存在最優(yōu)解 ，對于它的任意兩個基變量和如果，則有 。
最近時刻的收入優(yōu)先支付最遠(yuǎn)時刻的支出。時間 的收入首先支付時間 的支出，如果有盈余，則支付時間 的支出，如果有虧缺，則虧缺部分由時間 的收入來支出；最后時間 的收入支付 時刻的支出，如果有盈余，則支付 時刻的支出，如果有虧缺，則虧缺部分由 時刻的收入來支出。準(zhǔn)確地說，最優(yōu)解的基變量是， 取遍從 到 的每一個值， 取遍從 到 的每一個值。
我們能夠清楚地描述IOP最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)，即下列推論：
系3.1 存在最優(yōu)解是的基變量，并且有：
(1) 取遍從 到 的每一個值， 取遍從 到 的每一個值；
(2) 取遍從 到 中的每一個值， 取遍從 到 的每一個值。
最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)可以這樣來描述： 時刻的收入優(yōu)先支付 時刻的支出，最近時刻多余的收入優(yōu)先支付最遠(yuǎn)時刻不足的支出。因而我們可以利用二分搜索法來計算最優(yōu)值而無需求解線性規(guī)劃問題。
2、多利率下的壽險定價
現(xiàn)在我們來考慮一般情況下的壽險定價模型。假設(shè)有一大群相同的保單，時刻 表示保單簽發(fā)的時間， 為保單的終止時間。保險人在時間 的期望保險費收入為，當(dāng)保險金額等于一個單位時，保險人按照保險合同在時間 所要支付的期望保險金為。為簡單起見，在本文中不考慮附加保險費用。按照收支相等的原則，可以假設(shè)保險支出的資金全部來源于保費的收入及其投資利息，我們考慮下列線性規(guī)劃問題：變量 表示在時間 的保險收入中將用于支付時間 的保險金支出的數(shù)量，由于時間 收入的資金數(shù) 在 時刻所能得到的最大本利和是 ，所以上述問題準(zhǔn)確地刻畫了通過合理配置保險收入（由 表示））的投資期限（由 表示）能夠使保險金支出水平（用 表示）達(dá)到最大。而這個線性規(guī)劃問題的最優(yōu)值，則給出了多利率條件下保險費率的計算依據(jù)。在我們的定義中， 與被保險人繳納保費的方式有關(guān)， 與壽險產(chǎn)品的設(shè)計有關(guān)。當(dāng)這兩個函數(shù)確定后，影響精算定價的就是。
3、應(yīng)用分析
第一個例子是終身生存年金，保費繳付方式是年繳（等額），年金支付形式是每年領(lǐng)取（等額），并且有十年固定年金。每人都投保上述終身生存年金，共繳付 年。如果用時間1表示第一次繳費的時間（歲），那么在歲時生存者人在時間 所繳付的保險費為。由于 一般不是 的倍數(shù)，所以我們將初始時間前移 ，從 歲開始，生存者每年領(lǐng)取生存年金（具有十年固定年金），那么當(dāng)年金金額為1個單位時期望的年金支出為： 上式中 表示的是生命表中的極限年齡。
我們稱其最優(yōu)值為最大年金。由于生存人數(shù)隨著年齡增加而減少，下面是利用二分搜索法計算的年繳純保費100個單位的最大年金表。
通過計算我們發(fā)現(xiàn)上述結(jié)果基本上與以最大期限的利率（本例中是5%）作為單一預(yù)定利率所計算出來的相同。原因是保險期比較長。因此在生存年金的費率計算中，最大期限的利率起到了主要的作用，也就是說，資金的運用應(yīng)該以利率最高的長期投資為主。
第二個例子是定期人壽保險，保費繳付方式也是年繳（等額），保險金即刻賠付。為了簡單起見，我們假設(shè)保險期 是 的倍數(shù)，保險資金在一年之內(nèi)是不計利息的（即最小計息期限是一年）。設(shè)年齡為 歲者 人，每人都投保 年期人壽保險，每年年初繳付保險費為 ，那么在時間 的期望保險費收入，當(dāng)保險金額為1個單位時，期望的保險金支出則為
我們稱之為最大保險金額，下面是利用二分搜索法計算的年繳純保費1個單位時的最大保險金額表。與第一個例子有區(qū)別的是，由于有一定的變化，因此最大保險金額小于單一年預(yù)定利率5%所計算出來的結(jié)果，但是隨著保險期的增大，其差距越來越小。當(dāng)保險期在10年以上時，兩者相差不大，這時候的情況基本上與終身生存年金一樣，在費率計算中起主要作用的是最大期限的利率。而當(dāng)保險期為5年時，由于變化不大，正如上一節(jié)末所提到的，費率計算的結(jié)果與利率的大小關(guān)系不大。10年保險期的情況則介于兩者之間，不同期限的利率均起到了一定的作用。
4、結(jié)語
在本文中，我們應(yīng)用線性優(yōu)化的方法解決了在多利率條件下壽險費率的定價問題。命題3.1和3.2表明了這么一個事實，如果長期利率高于短期利率，那么保險收入資金的運用在滿足保險支出的情況下應(yīng)該優(yōu)先考慮期限較大（也就是利率較大）的投資，因而在保險費率的計算中，起主要作用的是最大期限的利率，其次是不同利率的一個綜合水平。這個結(jié)果也就意味著，在壽險資金的運用中，應(yīng)該考慮以長期投資為主，這為預(yù)定利率的確立提供了可靠的理論基礎(chǔ)。
參考文獻(xiàn)
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