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中國數(shù)學(xué)史讀書筆記

時間:2020-11-03 15:39:23 讀書筆記 我要投稿

中國數(shù)學(xué)史讀書筆記

  導(dǎo)語:在古代我們先人就很注重數(shù)學(xué)的發(fā)展了。以下是小編為大家分享的中國數(shù)學(xué)史讀書筆記,歡迎借鑒!

中國數(shù)學(xué)史讀書筆記

  數(shù)學(xué)是中國古代科學(xué)中一門重要的學(xué)科,根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的特點,可以分為五個時期:萌芽;體系的形成;發(fā)展;繁榮和中西方數(shù)學(xué)的融合。

  中國古代數(shù)學(xué)的萌芽

  原始公社末期,私有制和貨物交換產(chǎn)生以后,數(shù)與形的概念有了進(jìn)一步的發(fā)展,仰韶文化時期出土的陶器,上面已刻有表示1234的符號。到原始公社末期,已開始用文字符號取代結(jié)繩記事了。

  西安半坡出土的陶器有用1~8個圓點組成的等邊三角形和分正方形為100個小正方形的圖案,半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方,確定平直,人們還創(chuàng)造了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖與測量工具。據(jù)《史記·夏本紀(jì)》記載,夏禹治水時已使用了這些工具。

  商代中期,在甲骨文中已產(chǎn)生一套十進(jìn)制數(shù)字和記數(shù)法,其中最大的數(shù)字為三萬;與此同時,殷人用十個天干和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個名稱來記60天的日期;在周代,又把以前用陰、陽符號構(gòu)成的八卦表示八種事物發(fā)展為六十四卦,表示64種事物。

  公元前一世紀(jì)的《周髀算經(jīng)》提到西周初期用矩測量高、深、廣、遠(yuǎn)的方法,并舉出勾股形的勾三、股四、弦五以及環(huán)矩可以為圓等例子!抖Y記·內(nèi)則》篇提到西周貴族子弟從九歲開始便要學(xué)習(xí)數(shù)目和記數(shù)方法,他們要受禮、樂、射、馭、書、數(shù)的訓(xùn)練,作為“六藝”之一的數(shù)已經(jīng)開始成為專門的課程。

  春秋戰(zhàn)國之際,籌算已得到普遍的應(yīng)用,籌算記數(shù)法已使用十進(jìn)位值制,這種記數(shù)法對世界數(shù)學(xué)的發(fā)展是有劃時代意義的。這個時期的測量數(shù)學(xué)在生產(chǎn)上有了廣泛應(yīng)用,在數(shù)學(xué)上亦有相應(yīng)的提高。

  戰(zhàn)國時期的百家爭鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展,尤其是對于正名和一些命題的爭論直接與數(shù)學(xué)有關(guān)。名家認(rèn)為經(jīng)過抽象以后的名詞概念與它們原來的實體不同,他們提出“矩不方,規(guī)不可以為圓”,把“大一”(無窮大)定義為“至大無外”,“小一”(無窮小)定義為“至小無內(nèi)”。還提出了“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”等命題。

  而墨家則認(rèn)為名來源于物,名可以從不同方面和不同深度反映物。墨家給出一些數(shù)學(xué)定義。例如圓、方、平、直、次(相切)、端(點)等等。

  墨家不同意“一尺之棰”的命題,提出一個“非半”的命題來進(jìn)行反駁:將一線段按一半一半地?zé)o限分割下去,就必將出現(xiàn)一個不能再分割的“非半”,這個“非半”就是點。

  名家的命題論述了有限長度可分割成一個無窮序列,墨家的命題則指出了這種無限分割的變化和結(jié)果。名家和墨家的數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)命題的討論,對中國古代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展是很有意義的。

  中國古代數(shù)學(xué)體系的形成

  秦漢是封建社會的上升時期,經(jīng)濟(jì)和文化均得到迅速發(fā)展。中國古代數(shù)學(xué)體系正是形成于這個時期,它的主要標(biāo)志是算術(shù)已成為一個專門的學(xué)科,以及以《九章算術(shù)》為代表的數(shù)學(xué)著作的出現(xiàn)。

  《九章算術(shù)》是戰(zhàn)國、秦、漢封建社會創(chuàng)立并鞏固時期數(shù)學(xué)發(fā)展的總結(jié),就其數(shù)學(xué)成就來說,堪稱是世界數(shù)學(xué)名著。例如分?jǐn)?shù)四則運算、今有術(shù)(西方稱三率法)、開平方與開立方(包括二次方程數(shù)值解法)、盈不足術(shù)(西方稱雙設(shè)法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負(fù)數(shù)運算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數(shù)的方法)等,水平都是很高的。其中方程組解法和正負(fù)數(shù)加減法則在世界數(shù)學(xué)發(fā)展上是遙遙領(lǐng)先的。就其特點來說,它形成了一個以籌算為中心、與古希臘數(shù)學(xué)完全不同的獨立體系。

  《九章算術(shù)》有幾個顯著的特點:采用按類分章的數(shù)學(xué)問題集的形式;算式都是從籌算記數(shù)法發(fā)展起來的;以算術(shù)、代數(shù)為主,很少涉及圖形性質(zhì);重視應(yīng)用,缺乏理論闡述等。

  這些特點是同當(dāng)時社會條件與學(xué)術(shù)思想密切相關(guān)的。秦漢時期,一切科學(xué)技術(shù)都要為當(dāng)時確立和鞏固封建制度,以及發(fā)展社會生產(chǎn)服務(wù),強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。最后成書于東漢初年的《九章算術(shù)》,排除了戰(zhàn)國時期在百家爭鳴中出現(xiàn)的名家和墨家重視名詞定義與邏輯的討論,偏重于與當(dāng)時生產(chǎn)、生活密切相結(jié)合的數(shù)學(xué)問題及其解法,這與當(dāng)時社會的發(fā)展情況是完全一致的。

  《九章算術(shù)》在隋唐時期曾傳到朝鮮、日本,并成為這些國家當(dāng)時的數(shù)學(xué)教科書。它的一些成就如十進(jìn)位值制、今有術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和阿拉伯,并通過印度、阿拉伯傳到歐洲,促進(jìn)了世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。

  中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展

  魏、晉時期出現(xiàn)的玄學(xué),不為漢儒經(jīng)學(xué)束縛,思想比較活躍;它詰辯求勝,又能運用邏輯思維,分析義理,這些都有利于數(shù)學(xué)從理論上加以提高。吳國趙爽注《周髀算經(jīng)》,漢末魏初徐岳撰《九章算術(shù)》注,魏末晉初劉徽撰《九章算術(shù)》注、《九章重差圖》都是出現(xiàn)在這個時期。趙爽與劉徽的工作為中國古代數(shù)學(xué)體系奠定了理論基礎(chǔ)。

  趙爽是中國古代對數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明與推導(dǎo)的最早的數(shù)學(xué)家之一。他在《周髀算經(jīng)》書中補(bǔ)充的“勾股圓方圖及注”和“日高圖及注”是十分重要的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)。在“勾股圓方圖及注”中他提出用弦圖證明勾股定理和解勾股形的五個公式;在“日高圖及注”中,他用圖形面積證明漢代普遍應(yīng)用的重差公式,趙爽的工作是帶有開創(chuàng)性的,在中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展中占有重要地位。

  劉徽約與趙爽同時,他繼承和發(fā)展了戰(zhàn)國時期名家和墨家的思想,主張對一些數(shù)學(xué)名詞特別是重要的數(shù)學(xué)概念給以嚴(yán)格的定義,認(rèn)為對數(shù)學(xué)知識必須進(jìn)行“析理”,才能使數(shù)學(xué)著作簡明嚴(yán)密,利于讀者。他的《九章算術(shù)》注不僅是對《九章算術(shù)》的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo),而且在論述的過程中有很大的發(fā)展。劉徽創(chuàng)造割圓術(shù),利用極限的思想證明圓的面積公式,并首次用理論的方法算得圓周率為 157/50和 3927/1250。

  劉徽用無窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恒為2:1,解決了一般立體體積的關(guān)鍵問題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺的體積時,劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。

  東晉以后,中國長期處于戰(zhàn)爭和南北分裂的狀態(tài)。祖沖之父子的工作就是經(jīng)濟(jì)文化南移以后,南方數(shù)學(xué)發(fā)展的具有代表性的工作,他們在劉徽注《九章算術(shù)》的基礎(chǔ)上,把傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進(jìn)了一步。他們的數(shù)學(xué)工作主要有:計算出圓周率在3.1415926~3.1415927之間;提出祖(日恒)原理;提出二次與三次方程的解法等。

  據(jù)推測,祖沖之在劉徽割圓術(shù)的基礎(chǔ)上,算出圓內(nèi)接正6144邊形和正12288邊形的面積,從而得到了這個結(jié)果。他又用新的方法得到圓周率兩個分?jǐn)?shù)值,即約率22/7和密率355/113。祖沖之這一工作,使中國在圓周率計算方面,比西方領(lǐng)先約一千年之久;

  祖沖之之子祖(日恒)總結(jié)了劉徽的有關(guān)工作,提出“冪勢既同則積不容異”,即等高的兩立體,若其任意高處的水平截面積相等,則這兩立體體積相等,這就是著名的祖(日恒)公理。祖(日恒)應(yīng)用這個公理,解決了劉徽尚未解決的球體積公式。

  隋煬帝好大喜功,大興土木,客觀上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。唐初王孝通的《緝古算經(jīng)》,主要討論土木工程中計算土方、工程分工、驗收以及倉庫和地窖的計算問題,反映了這個時期數(shù)學(xué)的情況。王孝通在不用數(shù)學(xué)符號的情況下,立出數(shù)字三次方程,不僅解決了當(dāng)時社會的需要,也為后來天元術(shù)的建立打下基礎(chǔ)。此外,對傳統(tǒng)的勾股形解法,王孝通也是用數(shù)字三次方程解決的。

  唐初封建統(tǒng)治者繼承隋制,656年在國子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館,設(shè)有算學(xué)博士和助教,學(xué)生30人。由太史令李淳風(fēng)等編纂注釋《算經(jīng)十書》,作為算學(xué)館學(xué)生用的課本,明算科考試亦以這些算書為準(zhǔn)。李淳風(fēng)等編纂的《算經(jīng)十書》,對保存數(shù)學(xué)經(jīng)典著作、為數(shù)學(xué)研究提供文獻(xiàn)資料方面是很有意義的。他們給《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》以及《海島算經(jīng)》所作的注解,對讀者是有幫助的。隋唐時期,由于歷法的需要,天算學(xué)家創(chuàng)立了二次函數(shù)的內(nèi)插法,豐富了中國古代數(shù)學(xué)的內(nèi)容。

  算籌是中國古代的主要計算工具,它具有簡單、形象、具體等優(yōu)點,但也存在布籌占用面積大,運籌速度加快時容易擺弄不正而造成錯誤等缺點,因此很早就開始進(jìn)行改革。其中太乙算、兩儀算、三才算和珠算都是用珠的槽算盤,在技術(shù)上是重要的改革。尤其是“珠算”,它繼承了籌算五升十進(jìn)與位值制的優(yōu)點,又克服了籌算縱橫記數(shù)與置籌不便的缺點,優(yōu)越性十分明顯。但由于當(dāng)時乘除算法仍然不能在一個橫列中進(jìn)行。算珠還沒有穿檔,攜帶不方便,因此仍沒有普遍應(yīng)用。

  唐中期以后,商業(yè)繁榮,數(shù)字計算增多,迫切要求改革計算方法,從《新唐書》等文獻(xiàn)留下來的算書書目,可以看出這次算法改革主要是簡化乘、除算法,唐代的算法改革使乘除法可以在一個橫列中進(jìn)行運算,它既適用于籌算,也適用于珠算。

  中國古代數(shù)學(xué)的繁榮

  960年,北宋王朝的建立結(jié)束了五代十國割據(jù)的局面。北宋的農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮,科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn),火藥、指南針、印刷術(shù)三大發(fā)明就是在這種經(jīng)濟(jì)高漲的情況下得到廣泛應(yīng)用。1084年秘書省第一次印刷出版了《算經(jīng)十書》,1213年鮑搟之又進(jìn)行翻刻。這些都為數(shù)學(xué)發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件。

  從11~14世紀(jì)約300年期間,出現(xiàn)了一批著名的`數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作,如賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》,劉益的《議古根源》,秦九韶的《數(shù)書九章》,李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》,楊輝的《詳解九章算法》《日用算法》和《楊輝算法》,朱世杰的《算學(xué)啟蒙》《四元玉鑒》等,很多領(lǐng)域都達(dá)到古代數(shù)學(xué)的高峰,其中一些成就也是當(dāng)時世界數(shù)學(xué)的高峰。

  從開平方、開立方到四次以上的開方,在認(rèn)識上是一個飛躍,實現(xiàn)這個飛躍的就是賈憲。楊輝在《九章算法纂類》中載有賈憲“增乘開平方法”、“增乘開立方法”;在《詳解九章算法》中載有賈憲的“開方作法本源”圖、“增乘方法求廉草”和用增乘開方法開四次方的例子。根據(jù)這些記錄可以確定賈憲已發(fā)現(xiàn)二項系數(shù)表,創(chuàng)造了增乘開方法。這兩項成就對整個宋元數(shù)學(xué)發(fā)生重大的影響,其中賈憲三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年。

  把增乘開方法推廣到數(shù)字高次方程(包括系數(shù)為負(fù)的情形)解法的是劉益!稐钶x算法》中“田畝比類乘除捷法”卷,介紹了原書中22個二次方程和 1個四次方程,后者是用增乘開方法解三次以上的高次方程的最早例子。

  秦九韶是高次方程解法的集大成者,他在《數(shù)書九章》中收集了21個用增乘開方法解高次方程(最高次數(shù)為10)的問題。為了適應(yīng)增乘開方法的計算程序,奏九韶把常數(shù)項規(guī)定為負(fù)數(shù),把高次方程解法分成各種類型。當(dāng)方程的根為非整數(shù)時,秦九韶采取繼續(xù)求根的小數(shù),或用減根變換方程各次冪的系數(shù)之和為分母,常數(shù)為分子來表示根的非整數(shù)部分,這是《九章算術(shù)》和劉徽注處理無理數(shù)方法的發(fā)展。在求根的第二位數(shù)時,秦九韶還提出以一次項系數(shù)除常數(shù)項為根的第二位數(shù)的試除法,這比西方最早的霍納方法早500多年。

  元代天文學(xué)家王恂、郭守敬等在《授時歷》中解決了三次函數(shù)的內(nèi)插值問題。秦九韶在“綴術(shù)推星”題、朱世杰在《四元玉鑒》“如象招數(shù)”題都提到內(nèi)插法(他們稱為招差術(shù)),朱世杰得到一個四次函數(shù)的內(nèi)插公式。

  用天元(相當(dāng)于x)作為未知數(shù)符號,立出高次方程,古代稱為天元術(shù),這是中國數(shù)學(xué)史上首次引入符號,并用符號運算來解決建立高次方程的問題,F(xiàn)存最早的天元術(shù)著作是李冶的《測圓海鏡》。

  從天元術(shù)推廣到二元、三元和四元的高次聯(lián)立方程組,是宋元數(shù)學(xué)家的又一項杰出的創(chuàng)造。留傳至今,并對這一杰出創(chuàng)造進(jìn)行系統(tǒng)論述的是朱世杰的《四元玉鑒》。

  朱世杰的四元高次聯(lián)立方程組表示法是在天元術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的,他把常數(shù)放在中央,四元的各次冪放在上、下、左、右四個方向上,其他各項放在四個象限中。朱世杰的最大貢獻(xiàn)是提出四元消元法,其方法是先擇一元為未知數(shù),其他元組成的多項式作為這未知數(shù)的系數(shù),列成若干個一元高次方程式,然后應(yīng)用互乘相消法逐步消去這一未知數(shù)。重復(fù)這一步驟便可消去其他未知數(shù),最后用增乘開方法求解。這是線性方法組解法的重大發(fā)展,比西方同類方法早400多年。

  勾股形解法在宋元時期有新的發(fā)展,朱世杰在《算學(xué)啟蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法,補(bǔ)充了《九章算術(shù)》的不足。李冶在《測圓海鏡》對勾股容圓問題進(jìn)行了詳細(xì)的研究,得到九個容圓公式,大大豐富了中國古代幾何學(xué)的內(nèi)容。

  已知黃道與赤道的夾角和太陽從冬至點向春分點運行的黃經(jīng)余弧,求赤經(jīng)余弧和赤緯度數(shù),是一個解球面直角三角形的問題,傳統(tǒng)歷法都是用內(nèi)插法進(jìn)行計算。元代王恂、郭守敬等則用傳統(tǒng)的勾股形解法、沈括用會圓術(shù)和天元術(shù)解決了這個問題。不過他們得到的是一個近似公式,結(jié)果不夠精確。但他們的整個推算步驟是正確無誤的,從數(shù)學(xué)意義上講,這個方法開辟了通往球面三角法的途徑。

  中國古代計算技術(shù)改革的高潮也是出現(xiàn)在宋元時期。宋元明的歷史文獻(xiàn)中載有大量這個時期的實用算術(shù)書目,其數(shù)量遠(yuǎn)比唐代為多,改革的主要內(nèi)容仍是乘除法。與算法改革的同時,穿珠算盤在北宋可能已出現(xiàn)。但如果把現(xiàn)代珠算看成是既有穿珠算盤,又有一套完善的算法和口訣,那么應(yīng)該說它最后完成于元代。

  宋元數(shù)學(xué)的繁榮,是社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展和科學(xué)技術(shù)發(fā)展的必然結(jié)果,是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的必然結(jié)果。此外,數(shù)學(xué)家們的科學(xué)思想與數(shù)學(xué)思想也是十分重要的。宋元數(shù)學(xué)家都在不同程度上反對理學(xué)家的象數(shù)神秘主義。秦九韶雖曾主張數(shù)學(xué)與道學(xué)同出一源,但他后來認(rèn)識到,“通神明”的數(shù)學(xué)是不存在的,只有“經(jīng)世務(wù)類萬物”的數(shù)學(xué);莫若在《四元玉鑒》序文中提出的“用假象真,以虛問實”則代表了高度抽象思維的思想方法;楊輝對縱橫圖結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究,揭示出洛書的本質(zhì),有力地批判了象數(shù)神秘主義。所有這些,無疑是促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要因素。

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