小學(xué)奧數(shù)“雞兔同籠”問(wèn)題的幾種解法

時(shí)間：2023-11-15 20:30:21 賽賽奧數(shù)知識(shí) 我要投稿

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　　雞兔同籠，是中國(guó)古代著名典型趣題之一，大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個(gè)有趣的問(wèn)題。以下是小編整理的小學(xué)奧數(shù)“雞兔同籠”問(wèn)題的幾種解法，希望對(duì)大家有所幫助。

　　小學(xué)奧數(shù)“雞兔同籠”問(wèn)題的幾種解法

　　“雞兔同籠”問(wèn)題是我國(guó)民間廣為流傳的典型數(shù)學(xué)趣題之一，最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中。其大意是說(shuō)：籠子里有雞和兔若干，從上面數(shù)，有35個(gè)頭，從下面數(shù)，有94只腳。雞和兔各有幾只?

　　我們現(xiàn)在把數(shù)量變小一點(diǎn)：籠子里有雞和兔若干，從上面數(shù)，有12個(gè)頭，從下面數(shù)，有38只腳。雞和兔各有幾只?

　　先讓孩子明確幾個(gè)名稱(chēng)：每只兔有4只腳，腳只數(shù)要多一些，我們把它(兔)定為“多”量;每只雞只有2只腳，腳只數(shù)要少一些，我們把它(雞)定為“少”量;每只兔比每只雞多2只腳(4-2)，我們把它(4-2)定為“差”。

　　一、猜測(cè)法

　　先猜測(cè)，再驗(yàn)證，逐一排除，這種方法實(shí)用性不大。

　　二、列舉法

　　列舉法可一一列舉、跳躍列舉，也可對(duì)半列舉，關(guān)鍵在于逐步調(diào)整，以達(dá)到題意的要求，操作時(shí)若數(shù)據(jù)較大時(shí)過(guò)程頗為繁瑣，比較費(fèi)時(shí)，目的性也不強(qiáng)，在此不加贅述。

　　三、假設(shè)法

　　假設(shè)法也就是先假設(shè)全部是其中的某一種(雞或兔)，算出腳的只數(shù)，看比實(shí)際腳的總只數(shù)是多了還是少了，由于一只兔比一只雞多(4-2)只腳，再用多余或不足的腳只數(shù)除以“差”(4-2)就是另一種的只數(shù)。具體算法是：

　　1、假設(shè)全部都是“多”量(兔)：

　　多余的腳只數(shù)÷“差”=“少”量(雞)

　　例如，假設(shè)全部都是兔，就有腳4×12=48(只)，比實(shí)際腳的總只數(shù)多出了48-38=10(只)，則雞有10÷(4-2)=5(只)。兔的只數(shù)就是12-5=7(只)。

　　2、假設(shè)全部都是“少”量(雞)：

　　不足的腳只數(shù)÷“差”=“多”量(兔)

　　例如，假設(shè)全部都是雞，就有腳2×12=24(只)，比實(shí)際腳的總只數(shù)少了38-24=14(只)，則兔有14÷(4-2)=7(只)。雞的只數(shù)就是12-7=5(只)。

　　四、方程法

　　方程法是最適用，也是最具一般性的解答方法，這種方法思路清晰，易于理解。具體方法是：設(shè)甲有x只，則乙有a-x只。根據(jù)等量關(guān)系“雞腳總數(shù)+兔腳總數(shù)=腳的總只數(shù)”就可列出方程進(jìn)行解答。

　　如：

　　1、解：設(shè)雞有x只，則兔有12-x只。

　　2x+4×(12-x)=38

　　x =5

　　兔有12-5=7(只)。

　　2、解：設(shè)兔有x只，則雞有12-x只。

　　4x+2×(12-x)=38

　　x =7

　　雞有12-7=5(只)。

　　在方程法中，為了避免像方法1的解方程過(guò)程中出現(xiàn)“2x+48-4x=38 ”小學(xué)生應(yīng)用現(xiàn)在小學(xué)知識(shí)還難以理解的知識(shí)問(wèn)題，在幫助學(xué)生理解后，可建議學(xué)生像方法2那樣設(shè)“多”的(兔)為x，就可避免出現(xiàn)像“2x-4x”這樣的問(wèn)題。

　　五、“抬腿法”(減半法)

　　“抬腿法”是我們的祖先解決“雞兔同籠”問(wèn)題的經(jīng)典方法，體現(xiàn)了我們祖先的聰明才智。其算理是：假如每只雞都抬起一條腿(“金雞獨(dú)立”)，同時(shí)每只兔也都抬起兩條腿(蹲著)，各抬起一半腿，則總腿數(shù)減半，此時(shí)一只雞一條腿，而有一只兔就多一條腿，所以腿總數(shù)÷2-頭數(shù)=“多”量(兔)

　　如上面例題，38÷2=19(只)，19-12=7(只)(兔)。

　　孩子一嘗試，可能很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)這種方法最簡(jiǎn)便、快捷，但在以后的訓(xùn)練中要讓學(xué)生體會(huì)到，“抬腿法”僅適用于典型的“雞兔同籠”問(wèn)題(或“龜鶴問(wèn)題”)，而對(duì)于植樹(shù)、租船等“雞兔同籠”的變式問(wèn)題并不通用。所以“抬腿法”具有一定的局限性。

　　六、對(duì)半分法

　　據(jù)我對(duì)“雞兔同籠”問(wèn)題的理解，用“對(duì)半分法”來(lái)解決“雞兔同籠”問(wèn)題也很適用。先假設(shè)雞和兔(即“多”量和“少”量)各占一半，算出此時(shí)腳的全部只數(shù)，如果超過(guò)腳的總只數(shù)，說(shuō)明“多”量(兔)多了，如果不夠腳的總只數(shù)，說(shuō)明“多”量(兔)少了;再用超過(guò)或不足部分除以腳只數(shù)“差”(4-2)就是兔多出或少的只數(shù)，然后用“一半”減去或加上多出或少的只數(shù)，就是兔的只數(shù)。

　　如上面例題，先假設(shè)各有12÷2=6(只)，此時(shí)共有腳4×6+2×6=36(只)，不足總數(shù)38只，說(shuō)明兔少了，少了(38-36)÷(4-2)=1(只)，所以兔有6+1=7(只)。同理，雞有6-1=5(只)。

　　再如前面“雞兔同籠”的原題：有35個(gè)頭，共94只腳。先假設(shè)各有35÷2=17.5(只)，此時(shí)共有腳4×17.5+2×17.5=105(只)，超過(guò)總數(shù)94只，說(shuō)明兔多了，多了(105-94)÷(4-2)=5.5(只)，所以兔有17.5-5.5=12(只)。同理，雞有17.5+5.5=23(只)。

　　“雞兔同籠”問(wèn)題的解題方法有多種，孩子進(jìn)入中學(xué)后，隨著知識(shí)面的擴(kuò)展，將會(huì)學(xué)到其它不同的解法。

　　奧數(shù)題“雞兔同籠”新解法

　　1、同一個(gè)籠子里養(yǎng)著雞和兔子，它們共有88個(gè)頭，244只腳，雞和兔各有多少只？

　　解決“雞兔同籠”的常用方法有以下幾種：畫(huà)圖法、列表法、假設(shè)法、方程法，今天我向你們推薦一種新的解題方法：“抬腿法”。

　　解析：我們?cè)O(shè)想一下，籠子里的雞和兔子都非常聽(tīng)話(huà)，你吹一次口哨，每只雞和兔子就抬起一條腿，你一共吹兩次口哨，雞和兔子都抬起兩條腿，這時(shí)，雞坐在地上，兔子像人一樣有兩條腿站著，地上只有244-88×2=68條腿，都是兔子的腿，每只兔子都有兩條腿，共有68÷2=34只兔子，

　　有雞88-34=54只。

　　2、“雞兔同籠”，雞、兔共有107只，兔子的腳數(shù)比雞的腳數(shù)多56只，問(wèn)：雞、兔各有多少只？

　　解析：學(xué)生做這道題時(shí)常用方程來(lái)解決，今天，我向你們推薦一種方法：“補(bǔ)腳法”。

　　因?yàn)殡u的腳比兔子的腳少56只，如果把雞的腳補(bǔ)上56只的話(huà)，那么就要增加56÷2=28（只）雞，這樣，雞、兔共有107+28=135（只），雞腳、兔腳一樣多，雞的只數(shù)就是兔子的2倍。

　　兔：135÷（2+1）=45（只）

　　雞：135－45－28=62（只）

　　3、雞兔同籠，雞比兔多12只，共有腳114只，求雞、兔各有幾只？

　　解析：解決這道題，我們可以用“補(bǔ)頭法”。

　　因?yàn)殡u比兔子多12只，如果把兔子補(bǔ)上12個(gè)頭的話(huà)，就要多出12×4=48條腿，這樣一共有114+48=162條腿，雞頭和兔頭一樣多，我們把一只雞和一只兔子兩個(gè)一組分開(kāi)，每組里共有腳6只，一共可以分162÷6=27組，就有27只雞，兔子有27-12=15只。

　　“雞兔同籠”問(wèn)題的解法

　　一、假設(shè)法

　　假設(shè)法又可分為幾種，一種是假設(shè)籠子中全部都是雞，一種是假設(shè)籠子中全部都是兔，還有一種就是《孫子算經(jīng)》中所用的抬腿法（也就是假設(shè)所有的雞和兔都抬起一只腿）。

　　1、假設(shè)籠子中的動(dòng)物全部都是雞

　　因?yàn)槊恐浑u有2只腳，地上的腳的總數(shù)應(yīng)該就是35 × 2 = 70只；但實(shí)際上腳的總數(shù)并不是70，而是94，多出了94 - 70 = 24只腳。

　　為什么會(huì)多出24只腳呢？

　　因?yàn)榛\子中除了雞外，還有兔子，每只兔子有4只腳，比每只雞要多2只腳，現(xiàn)在總共多了24只腳，要多少兔子才能比雞多24只腳呢？我們就要用多出的這24只腳除以每只兔子比雞多出的2只腳，24 ÷ 2 = 12只，也就是說(shuō)，籠子中兔子的數(shù)量就是12只。

　　雞的數(shù)量就等于總數(shù)量35只減去兔子的數(shù)量12只，35 - 12= 23只。

　　現(xiàn)在我們來(lái)檢查一下計(jì)算的結(jié)果，用兔子的數(shù)量乘以每只兔子有4只腳，加上雞的數(shù)量乘以每只雞的2只腳，看看腳的總數(shù)是不是94只。

　　12 × 4 + 23 × 2 = 48 + 46 = 94

　　結(jié)果吻合，說(shuō)明我們的計(jì)算是正確的。

　　2、假設(shè)籠子中的動(dòng)物全部都是兔子