2016-2017初三數(shù)學(xué)期中考試試題
知識是從刻苦勞動中得來的,任何成就都是刻苦勞動的結(jié)果。下面是小編整理的2016-2017初三數(shù)學(xué)期中考試試題,歡迎大家試做。
一、填空題(共12小題,每小題2分,滿分24分)
1.方程4(x﹣2)2﹣25=0的解為 .
2.已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(m,2)和(﹣2,3),則m的值為 .
3.若 = ,則 = ;若 = = ≠0,則 = .
4.已知線段a:b=c:d,若a=5cm,b=6cm,d=12cm,則c= .
5.在反比例函數(shù)y= 圖象的每個象限內(nèi),y隨x的增大而減小,則m的取值范圍是 .
6.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩根分別為x1=1,x2=2,則b= ;c= .
7.已知在△ABC和△DEF,∠A=40°,∠B=80°,∠E=80°.當∠F= 時,△ABC∽△DEF.
8.若函數(shù)y=(m﹣1) 是反比例函數(shù),則m的值等于 .
9.已知關(guān)于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+l=0有兩個不相等的實數(shù)根,則a的取值范圍是 .
10.國家實施惠農(nóng)政策后,某鎮(zhèn)農(nóng)民人均收入經(jīng)過兩年由1萬元,提高到1.44萬元,這兩年該鎮(zhèn)農(nóng)民人均收入的平均增長率是 .
11.若△ABC∽△DEF,△ABC與△DEF的相似比為2:3,則S△ABC:S△DEF= .
12.關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有兩個實數(shù)根,則m的取值范圍是 .
二、選擇題(共8小題,每小題3分,滿分24分)
13.下列各點中,在反比例函數(shù) 圖象上的是( )
A. (﹣1,8) B. (﹣2,4) C. (1,7) D. (2,4)
14.如果關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩根分別為x1=3,x2=1,那么這個一元二次方程是( )
A. x2+3x+4=0 B. x2﹣4x+3=0 C. x2+4x﹣3=0 D. x2+3x﹣4=0
15.下列命題正確的是( )
A. 位似圖形一定不是全等形
B. 相似比等于1的兩個位似圖形全等
C. 兩個位似圖形的周長比等于相似比的平方
D. 兩個位似圖形面積的比等相似比
16.已知反比例函數(shù)y=﹣ ,下列結(jié)論不正確的是( )
A. 圖象必經(jīng)過點(﹣1,2) B. y隨x的增大而增大
C. 圖象在第二、四象限內(nèi) D. 若x>1,則y>﹣2
17.若關(guān)于x的一元二次方程(2m﹣1)x2+(m+1)x+1=0的兩根相等,那么m等于( )
A. ﹣1或5 B. ﹣1或﹣5 C. 1或﹣5 D. 1或5
18.如圖,在△ABC中,點D,E分別在邊AB,AC上,DE∥BC,已知AE=6, ,則EC的長是( )
A. 4.5 B. 8 C. 10.5 D. 14
19.如圖,D是△ABC一邊BC上一點,連接AD,使△ABC∽△DBA的條件是( )
A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD C. AB2 =CD•BC D. AB2=BD•BC
20.矩形的長為x,寬為y,面積為9,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式用圖象表示 大致為( )
A. B. C. D.
三、解答題(21、22題每小題6分,23-28題每小題6分)
21.解放程(2x+1)2﹣(x﹣3)(2x﹣1)=3x.
22.如圖,已知D,E分別是△ABC的邊AB、AC的延長線上的點,且DE∥BC,AB=5,BD=3,BC=6,求DE的長.
23.商場某種商品平均每天可銷售30件,每件價格50元.為了盡快減少庫存,商場 決定采取適當?shù)慕祪r措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),每件商品每降價1元,商場平均每天可多售出2件.據(jù)此規(guī)律,每件商品降價多少元時,商場日銷售額可達到2100元?
24.關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣1=0,其根的判別式的值為1,求m的值及該方程的解.
25.如圖所示,已知一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點,且與反比例函數(shù)y= (m≠0)的圖象在第一象限交于C點,CD垂直于x軸,垂 足為D.若OA=OB=OD=1.
(1)求點A、B、D的坐標;
(2)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.
26.如圖所示,在△ABC中,AB=8cm,BC=16cm,點P從點A開始沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動,點Q從點B開始沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動,如果點P、Q同時出發(fā),經(jīng)過多長時間后,△PBQ與△ABC相似?試說明理由.
27.如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AC與BD相交于O點,過點B作BE∥CD交CA的延長線于點E.求證:OC2=OA•OE.
28.已知關(guān)于x的方程x2﹣2(m+1)x+m2+3=0.
(1)當m為何值時方程有實數(shù)根?
(2)設(shè)方程的兩實根分別為x1、x2,且x12+x22=22,求m的值.
參考答案與試題解析
一、填空題(共12小題,每小題2分,滿分24分)
1.方程4(x﹣2)2﹣25=0的解為 或﹣ .
考點: 解一元二次方程-直接開平方法.
分析: 把原式變形為(x+a)2=b的形式,用直接開平方法求出x﹣2,然后進一步求x.
解答: 解:∵4(x﹣2)2﹣25=0,
∴(x﹣2)2= ,
∴x﹣2=± ,
∴x1= ,x2=﹣ .
故答案為 或﹣ .
點評: 本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法,遵循的法則:要把方程化為“左平方,右常數(shù),先把系數(shù)化為1,再開平方取正負,分開求得方程解”.
2.已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(m,2)和(﹣2,3),則m的值為 ﹣3 .
考點: 反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.
專題: 計算題.
分析: 此題可根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的橫縱坐標是一個定值即可求解.
解答: 解:∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(m,2)和(﹣2,3),
∴k=xy=﹣2×3=﹣6,
∴2m=﹣6,
∴m=﹣3.
故答案為:﹣3.
點評: 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征,較為簡單,容易掌握.
3.若 = ,則 = ;若 = = ≠0,則 = .
考點: 比例的性質(zhì).
分析: 根據(jù)合比性質(zhì),可得答案;
根據(jù)比例的性質(zhì),可用x表示y,用x表示z,根據(jù)分式的性質(zhì),可得答案.
解答: 解: = 由合比性質(zhì),得
= = ;
由 = = ≠0,得
y= ,z=2x.
= = = ,
故答案為: , .
點評: 本題考查了比例的性質(zhì),利用了合比性質(zhì),比例的性質(zhì)用x表示y,用x表示z是解題關(guān)鍵.
4.已知線段a:b=c:d,若a=5cm,b=6cm,d=12cm,則c= 10cm .
考點: 比例線段.
分析: 由a:b=c:d,可得bc=ad,再將a=5cm,b=6cm,d=12cm代入,即可求出c.
解答: 解:∵a:b=c:d,
∴bc=ad,
∵a=5cm,b=6cm,d=12cm,
∴6c=5×12,
解得c=10.
故答案為10cm.
點評: 本題考查了比例的性質(zhì)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的計算能力.
5.在反比例函數(shù)y= 圖象的每個象限內(nèi),y隨x的增大而減小,則m的取值范圍是 m<1 .
考點: 反比例函數(shù)的性質(zhì).
分析: 根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于m的不等式,求出m的取值范圍即可.
解答: 解:∵在反比例函數(shù)y= 圖象的每個象限內(nèi),y隨x的增大而減小,
∴1﹣m>0,
解得m<1.
故答案為:m<1.
點評: 本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì),熟知反比例函數(shù)的增減性是解答此題的關(guān)鍵.
6.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩根分別為x1=1,x2=2,則b= ﹣3 ;c= 2 .
考點: 根與系數(shù)的關(guān)系.
分析: 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,直接代入計算即可.
解答: 解:∵關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩根分別為x1=1,x2=2,
∴1+2=﹣b,1×2=c,
∴b=﹣3,c=2,
故答案為:﹣3,2.
點評: 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系,解題的關(guān)鍵是熟練掌握根與系數(shù)的字母表達式,并會代入計算.
7.已知在△ABC和△DEF,∠A=40°,∠B=80°,∠E=80°.當∠F= 60° 時,△ABC∽△DEF.
考點: 相似三角形的判定.
分析: 先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理計算出∠C=60°,由于∠B=80°=∠E=80°,根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似,則當∠F=∠C=60°時可判斷△ABC∽△DEF.
解答: 解:∵∠A=40°,∠B=80°,
∴∠C=180°﹣40°﹣80°=60°,
而∠B=80°=∠E=80°,
∴當∠F=∠C=60°時,△ABC∽△DEF.
故答案為60°.
點評: 本題考查了相似三角形的判定:有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.
8.若函數(shù)y=(m﹣1) 是反比例函數(shù),則m的值等于 ﹣1 .
考點: 反比例函數(shù)的定義.
分析: 根據(jù)反比例函數(shù)的定義先求出m的值,再根據(jù)系數(shù)不為0進行取舍.
解答: 解:∵y=(m﹣1) 是反比例函數(shù),
∴m2﹣2=﹣1,m﹣1≠0,
∴m=﹣1.
故答案為﹣1.
點評: 本題考查了反比例函數(shù)的定義,重點是將一般式 (k≠0)轉(zhuǎn)化為y=kx﹣1(k≠0)的形式.
9.已知關(guān)于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+l=0有兩個不相等的實數(shù)根,則a的取值范圍是 a<2,且a≠1 .
考點: 根的判別式;一元二次方程的定義.
專題: 計算題.
分析: 本題是根的判別式的應(yīng)用,因為關(guān)于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+l=0有兩個不相等的實數(shù)根,所以△=b2﹣4ac>0,從而可以列出關(guān)于a的不等式,求解即可,還要考慮二次項的系數(shù)不能為0.
解答: 解:∵關(guān)于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+l=0有兩個不相等的實數(shù)根,
∴△=b2﹣4ac>0,即4﹣4×(a﹣2)×1>0,
解這個不等式得,a<2,
又∵二次項系數(shù)是(a﹣1),
∴a≠1.
故M得取值范圍是a<2且a≠1.
點評: 1、一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系:
(1)△>0⇔方程有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)△=0⇔方程 有兩個相等的實數(shù)根;
(3)△<0⇔方程沒有實數(shù)根.
2、二次項的系數(shù)不為0是學(xué)生常常忘記考慮的,是易錯點.
10.國家實施惠農(nóng)政策后,某鎮(zhèn)農(nóng)民人均收入經(jīng)過兩年由1萬元,提高到1.44萬元,這兩年該鎮(zhèn)農(nóng)民 人均收入的平均增長率是 20% .
考點: 一元二次方程的應(yīng)用.
專 題: 增長率問題.
分析: 增長率問題,一般用增長后的量=增長前的量×(1+增長率),如果設(shè)這兩年該鎮(zhèn)農(nóng)民人均收入的平均增長率是x,那么由題意可得出1×(1+x)2=1.44,解方程即可求解.
解答: 解:設(shè)這兩年該鎮(zhèn)農(nóng)民人均收入的平均增長率是x,
根據(jù)題意得:1×(1+x)2=1.44
解得x=﹣2.2(不合題意舍去),x=0.2
所以這兩年該鎮(zhèn)農(nóng)民人均收入的平均增長率是20%.
故答案是:20%.
點評: 本題考查了一元二次方程的應(yīng)用.判斷所求的解是否符合題意,舍去不合題意的解.找到關(guān)鍵描述語,找到等量關(guān)系準確的列出方程是解決問題的關(guān)鍵.
11.若△ABC∽△DEF,△ABC與△DEF的相似比為2:3,則S△ABC:S△DEF= 4:9 .
考點: 相似三角形的性質(zhì).
專題: 探究型.
分析: 根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答.
解答: 解:∵△ABC∽△DEF,△ABC與△DEF的相似比為2:3,
∴S△ABC:S△DEF=( )2= .
故答案為:4:9.
點評: 本題考查的是相似三角形的性質(zhì),即相似三角形面積的比等于相似比.
12.關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有兩個實數(shù)根,則m的取值范圍是 m≤1 .
考點: 根的判別式.
分析: 根據(jù)方程有實數(shù)根,得出△≥0,建立關(guān)于m的不等式,求出m的取值范圍即可.
解答: 解:由題意知,△=4﹣4m≥0,
∴m≤1,
故答案為:m≤1.
點評: 此題考查了根的判別式,掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系:△>0⇔方程有兩個不相 等的實數(shù)根;△=0⇔方程有兩個相等的實數(shù)根;△<0⇔方程沒有實數(shù)根是本題的關(guān)鍵.
二、選擇題(共8小題,每小題3分,滿分24分)
13.下列各點中,在反比例函數(shù) 圖象上的是( )
A. (﹣1,8) B. (﹣2,4) C. (1,7) D. (2,4)
考點: 反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.
專題: 計算題.
分析: 由于反比例函數(shù)y= 中,k=xy,即將各選項橫、縱坐標分別相乘,其積為8者即為正確答案.
解答: 解:A、∵﹣1×8=﹣8≠8,∴該點不在函數(shù)圖象上,故本選項錯誤;
B、∵﹣2×4=﹣8≠8,∴該點不在函數(shù)圖象上,故本選項錯誤;
C、∵1×7=7≠8,∴該點不在函數(shù)圖象上,故本選項錯誤;
D、2×4=8,∴該點在函數(shù)圖象上,故本選項正確.
故選D.
點評: 此題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征,將橫、縱坐標分別相乘其積為k者,即為反比例函數(shù)圖象上的點.
14.如果關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩根分別為x1=3,x2=1,那么這個一元二次方程是( )
A. x2+3x+4=0 B. x2﹣4x+3=0 C. x2+4x﹣3=0 D. x2+3x﹣4=0
考點: 根與系數(shù)的關(guān)系.
分析: 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,直接代入計算即可.
解答: 解:∵關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩根分別為x1=3,x2=1,
∴3+1=﹣p,3×1=q,
∴p=﹣4,q=3,
故選:B.
點評: 本題考查了根 與系數(shù)的關(guān)系,解題的關(guān)鍵是熟練掌握根與系數(shù)的字母表達式,并會代入計算.
15.下列命題正確的是( )
A. 位似圖形一定不是全等形
B. 相似比等于1的兩個位似圖形全等
C. 兩個位似圖形的周長比等于相似比的平方
D. 兩個位似圖形面積的比等相似 比
考點: 位似變換;命題與定理.
分析: 利用位似圖形的定義以及相似圖形的性質(zhì)分析求出即可.
解答: 解:A、位似圖形有可能是全等形,故此選項錯誤;
B、相似比等于1的兩個位似圖形全等,正確;
C、兩個位似圖形的周長比等于相似比,故此選項錯誤;
D、兩個位似圖形面積的比等相似比的平方,故此選項錯誤;
故選:B.
點評: 此題主要考查了位似變換以及相似圖形的性質(zhì),正確利用位似圖形的性質(zhì)求出是解題關(guān)鍵.
16.已知反比例函數(shù)y=﹣ ,下列結(jié)論不正確的是( )
A. 圖象必經(jīng)過點(﹣1,2) B. y隨x的增大而增大
C. 圖象在第二、四象限內(nèi) D. 若x>1,則y>﹣2
考點: 反比例函數(shù)的性質(zhì).
分析: 根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì):當k<0,雙 曲線的兩支分別位于第二、第四象限,在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大進行分析即可.
解答: 解:A、圖象必經(jīng)過點(﹣1,2),說法正確,不合題意;
B、k=﹣2<0,每個象限內(nèi),y隨x的增大而增大,說法錯誤,符合題意;
C、k=﹣2<0,圖象在第二、四象限內(nèi),說法正確,不合題意;
D、若x>1,則﹣2
故選:B.
點評: 此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì),關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的性質(zhì):
(1)反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象是雙曲線;
(2)當k>0,雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限,在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小;
(3)當k<0,雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限,在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大.
注意:反比例函數(shù)的圖象與坐標軸沒有交點.
17.若關(guān)于x的一元二次方程(2m﹣1)x2+(m+1)x+1=0的兩根相等,那么m等于( )
A. ﹣1或5 B. ﹣1或﹣5 C. 1或﹣5 D. 1或5
考點: 根的判別式;一元二次方程的定義.
分析: 由關(guān)于x的一元二次方程(2m﹣1)x2+(m+1)x+1=0有兩個相等的實數(shù)根,即可得判別式△=0,即可得方程4﹣4m=0,解此方程即可求得答案.
解答: 解:∵關(guān)于x的一元二次方程(2m﹣1)x2+(m+1)x+1=0的兩根相等,
∴△=(m+1)2﹣4(2m﹣1)=m2﹣6m+5=0,
解得:m=1,m=5,
當m=1或m=5時,2m﹣1≠0,
∴關(guān)于x的一元二次方程(2m﹣1)x2+(m+1)x+1=0的兩根相等,那么m等于1或5.
故選:D.
點評: 此題考查了一元二次方程判別式的知識.此題難度不大,注意若一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根,則可得△=0.
18.如圖,在△ABC中,點D,E分別在邊AB,AC上,DE∥BC,已知AE=6, ,則EC的長是( )
A. 4.5 B. 8 C. 10.5 D. 14
考點: 平行線分線段成比例.
分析: 根據(jù)平行線分線段成比例定理列式進行計算即可得解.
解答: 解:∵DE∥BC,
∴ = ,
即 = ,
解得EC=8.
故選B.
點評: 本題考查了平行線分線段成比例定理,找準對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
19.如圖,D是△ABC一邊BC上一點,連接AD,使△ABC∽△DBA的條件是( )
A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD C. AB2=CD•BC D. AB2=BD•BC
考點: 相似三角形的判定.
分析: 根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊比例且夾角相等進行判斷,要注意相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角.
解答: 解:∵∠B=∠B,
∴當 時,
△ABC∽△DBA,
當AB2=BD•BC時,△ABC∽△DBA,
故選D.
點評: 此題主要考查的是相似三角形的性質(zhì),正確地判斷出相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角是解答此題的關(guān)鍵.
20.矩形的長為x,寬為y,面積為9,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式用圖象表示大致為( )
A. B. C. D.
考點: 反比例函數(shù)的圖象;反比例函數(shù)的應(yīng)用.
分析: 根據(jù)矩形的面積得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)x的范圍以及函數(shù)類型即可作出判斷.
解答: 解:矩形的長為x,寬為y,面積為9,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是:y= (x>0).
是反比例函數(shù),且圖象只在第一象限.
故選C.
點評: 本題考查了反比例函數(shù)的圖象,注意x的取值范圍x>0,容易出現(xiàn)的錯誤是忽視取值范圍,選擇B.
三、解答題(21、22題每小題6分,23-28題每小題6分)
21.解放程(2x+1)2﹣(x﹣3)(2x﹣1)=3x.
考點: 解一元二次方程-配方法.
分析: 先把原方程轉(zhuǎn)化為一般式方程,然后利用配方法解方程:把常數(shù)項移項后,應(yīng)該在左右兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方.
解答: 解:由(2x+1)2﹣(x﹣3)(2x﹣1)=3x,得
2x2+8x﹣2=0,
x2+4x=1,
x2+4x+4=1+4,即(x+2)2=5,
解得x1=﹣2+ ,x2=﹣2﹣ .
點評: 本題考查了解一元二次方程﹣﹣配方法.配方法解一元二次方程的步驟:
(1)形如x2+px+q=0型:第一步移項,把常數(shù)項移到右邊;第二步配方,左右兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方;第三步左邊寫成完全平方式;第四步,直接開方即可.
(2)形如ax2+bx+c=0型,方程兩邊同時除以二次項系數(shù),即化成x2+px+q=0,然后配方.
22.如圖,已知D,E分別是△ABC的邊AB、AC的延長線上的點,且DE∥BC,AB=5,BD=3,BC=6,求DE的長.
考點: 相似三角形的判定與性質(zhì).
分析: 首先根據(jù)DE∥BC,可判定△ABC∽△ADE,然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例,代入求出DE的長度.
解答: 解:∵DE∥BC,
∴△ABC∽△ADE,
∴ = ,
即 = ,
解得:DE= .
點評: 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),根據(jù)DE∥BC,得出△ABC∽△ADE是解題的關(guān)鍵,是一道基礎(chǔ)題.
23.商場某種商品平均每天可銷售30件,每件價格50元.為了盡快減少庫存,商場決定采取適當?shù)慕祪r措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),每件商品每降價1元,商場平均每天可多售出2件.據(jù)此規(guī)律,每件商品降價多少元時,商場日銷售額可達到2100元?
考點: 一元二次方程的應(yīng)用.
專題: 銷售問題.
分析: 根據(jù)等量關(guān)系為:每件商品的盈利×可賣出商品的件數(shù)=2100,把相關(guān)數(shù)值代入計算得到合適的解即可.
解答:解:設(shè)每件商品降價x元,由題意得:
(50﹣x)(30+2x)=2100,
化簡得:x2﹣35x+300=0,
解得:x1=15,x2=20,
∵該商場為了盡快減少庫存,則x=15不合題意,舍去.
∴x=20.
答:每件商品降價20元,商場日盈利可達2100元.
點評: 此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用;得到可賣出商品數(shù)量是解決本題的易錯點;得到總盈利2100的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.
24.關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣1=0,其 根的判別式的值為1,求m的值及該方程的解.
考點: 根的判別式;一元二次方程的定義;解一元二次方程-因式分解法.
專題: 壓軸題.
分析: 由一元二次方程的△=b2﹣4ac=1,建立m的方程,求出m的解后再化簡原方程并求解.
解答: 解:由題意知,m≠0,△=b2﹣4ac=[﹣(3m﹣1)]2﹣4m(2m+1)=1
∴m1=0(舍去),m2=10,∴原方程化為:10x2﹣29x+19=0,
解得,x1=1,x2= .
點評: 本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用.切記不要忽略一元二次方程二次項系數(shù)不為零這一隱含條件.
25.如圖所示,已知一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點,且與反比例函數(shù)y= (m≠0)的圖象在第一象限交于C點,CD垂直于x軸,垂足為D.若OA=OB=OD=1.
(1)求點A、B、D的坐標;
(2)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.
考點: 反比例函數(shù)綜合題.
專題: 計算題;數(shù)形結(jié)合.
分析: (1)根據(jù)OA=OB=OD=1和各坐標軸上的點的特點易得到所求點的坐標;
(2)將A、B兩點坐標分別代入y=kx+b,可用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式,由C點在一次函數(shù)的圖象上可確定C點坐標,將C點坐標代入y= 可確定反比例函數(shù)的解析式.
解答: 解:(1)∵OA=OB=OD=1,
∴點A、B、D的坐標分別為A(﹣1,0),B(0,1),D(1,0);
(2)∵點A、B在一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象上,
∴ ,
解得 ,
∴一次函數(shù)的解析式為y=x+1.
∵點C在一次函數(shù)y=x+1的圖象上,且CD⊥x軸,
∴點C的坐標為(1,2),
又∵點C在反比例函數(shù)y= (m≠0)的圖象上,
∴m=2;
∴反比例函數(shù)的解析式為y= .
點評: 本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,過某個點,這個點的坐標應(yīng)適合這個函數(shù)解析式.
26.如圖所示,在△ABC中,AB=8cm,BC=16cm,點P從點A開始沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動,點Q從點B開始沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動,如果點P、Q同時出發(fā),經(jīng)過多長時間后,△PBQ與△ABC相似?試說明理由.
考點: 相似三角形的判定.
專題: 動點型.
分析: 首先設(shè)經(jīng)x秒鐘△PBQ與△ABC相似,由題意可得AP=xcm,BQ=2xcm,BP=AB﹣AP=(8﹣x)cm,又由∠B是公共角,分別從 = 或 = 分析,即可求得答案.
解答: 解:設(shè)經(jīng)x秒鐘△PBQ與△ABC相似,
則AP=xcm,BQ=2xcm,
∵AB=8cm,BC=16cm,
∴BP=AB﹣AP=(8﹣x)cm,
∵∠B是公共角,
∵①當 = ,即 = 時,△PBQ∽△ABC,
解得:x=4;
②當 = ,即 = 時,△QBP∽△ABC,
解得:x=1.6,
∴經(jīng)4或1.6秒鐘△PBQ與△ABC相似.
點評: 此題考查了相似三角形的判定.此題難度適中,屬于動點型題目,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用.
27.如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AC與BD相交于O點,過點B作BE∥CD交CA的延長 線于點E.求證:OC2=OA•OE.
考點: 相似三角形的判定與性質(zhì);梯形.
專題: 證明題.
分析: 由平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定定理可得△OCD∽△OEB,△AOD∽△COB,再由相似三角形的性質(zhì)可證.
解答: 證明:∵CD∥BE,
∴∠DCO=∠E,
又∠DOC=∠BOE,
∴△OCD∽△OEB,
∴ .
又∵AD∥BC.
同理 .
∴ ,
即OC2=OA•OE.
點評: 本題主要考查了平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定定理及性質(zhì).
28.已知關(guān)于x的方程x2﹣2(m+1)x+m2+3=0.
(1)當m為何值時方程有實數(shù)根?
(2)設(shè)方程的兩實根分別為x1、x2,且x12+x22=22,求m的值.
考點: 根的判別式;根與系數(shù)的關(guān)系.
分析: (1)根據(jù)根的判別式得出若方程有實數(shù)根,則△=4(m+1)2﹣4(m2+3)>0,再求解即可,
(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系和已知得出,4(m+1)2﹣4(m2+3)=22,再解方程即可.
解答: 解:(1)若方程有實數(shù)根,則△=4(m+1)2﹣4(m2+3)>0,
解得:m>1.
答:當m>1時,方程有實數(shù)根;
(2)設(shè)方程的兩實根分別為x1、x2,且x12+x22=22,
則(x1+x2)2﹣2x1x2=22,
4(m+1)2﹣4(m2+3)=22,
解得:m= .
點評: 本題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系,一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系:(1)△>0⇔方程有兩個不相等的實數(shù)根,(2)△=0⇔方程有兩個相等的實數(shù)根,(3)△<0⇔方程沒有實數(shù)根。
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