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小學(xué)應(yīng)用題寶典整理歸納
1、歸一問(wèn)題
【含義】
在解題時(shí)，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問(wèn)題。
【數(shù)量關(guān)系】
總量÷份數(shù)＝1份數(shù)量
1份數(shù)量×所占份數(shù)＝所求幾份的數(shù)量
另一總量÷（總量÷份數(shù)）＝所求份數(shù)
【解題思路和方法】
先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。
例1
買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？
解
�。�1）買1支鉛筆多少錢？0.6÷5＝0.12（元）
（2）買16支鉛筆需要多少錢？0.12×16＝1.92（元）
列成綜合算式0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）
答：需要1.92元。
例2
3臺(tái)拖拉機(jī)3天耕地90公頃，照這樣計(jì)算，5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地多少公頃？
解
（1）1臺(tái)拖拉機(jī)1天耕地多少公頃？90÷3÷3＝10（公頃）
（2）5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地多少公頃？10×5×6＝300（公頃）
列成綜合算式90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公頃）
答：5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地300公頃。
例3
5輛汽車4次可以運(yùn)送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運(yùn)送105噸鋼材，需要運(yùn)幾次？
解
（1）1輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材？100÷5÷4＝5（噸）
�。�2）7輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材？5×7＝35（噸）
�。�3）105噸鋼材7輛汽車需要運(yùn)幾次？105÷35＝3（次）
列成綜合算式105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）
答：需要運(yùn)3次。
2、歸總問(wèn)題
【含義】
解題時(shí)，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問(wèn)題，叫歸總問(wèn)題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價(jià)、幾小時(shí)（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時(shí)行的總路程等。
【數(shù)量關(guān)系】
1份數(shù)量×份數(shù)＝總量
總量÷1份數(shù)量＝份數(shù)
總量÷另一份數(shù)＝另一每份數(shù)量
【解題思路和方法】
先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。
例1
服裝廠原來(lái)做一套衣服用布3.2米，改進(jìn)裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來(lái)做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？
解
（1）這批布總共有多少米？3.2×791＝2531.2（米）
�。�2）現(xiàn)在可以做多少套？2531.2÷2.8＝904（套）
列成綜合算式3.2×791÷2.8＝904（套）
答：現(xiàn)在可以做904套。
例2
小華每天讀24頁(yè)書，12天讀完了《紅巖》一書。小明每天讀36頁(yè)書，幾天可以讀完《紅巖》？
解
（1）《紅巖》這本書總共多少頁(yè)？24×12＝288（頁(yè)）
�。�2）小明幾天可以讀完《紅巖》？288÷36＝8（天）
列成綜合算式24×12÷36＝8（天）
答：小明8天可以讀完《紅巖》。
例3
食堂運(yùn)來(lái)一批蔬菜，原計(jì)劃每天吃50千克，30天慢慢消費(fèi)完這批蔬菜。后來(lái)根據(jù)大家的意見，每天比原計(jì)劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？
解
�。�1）這批蔬菜共有多少千克？50×30＝1500（千克）
�。�2）這批蔬菜可以吃多少天？1500÷（50＋10）＝25（天）
列成綜合算式50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天）
答：這批蔬菜可以吃25天。
3、和差問(wèn)題
【含義】
已知兩個(gè)數(shù)量的和與差，求這兩個(gè)數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問(wèn)題。
【數(shù)量關(guān)系】
大數(shù)＝（和＋差）÷2
小數(shù)＝（和－差）÷2
【解題思路和方法】
簡(jiǎn)單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公式。
例1
甲乙兩班共有學(xué)生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？
解
甲班人數(shù)＝（98＋6）÷2＝52（人）
乙班人數(shù)＝（98－6）÷2＝46（人）
答：甲班有52人，乙班有46人。
例2
長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之和為18厘米，長(zhǎng)比寬多2厘米，求長(zhǎng)方形的面積。
解
長(zhǎng)＝（18＋2）÷2＝10（厘米）
寬＝（18－2）÷2＝8（厘米）
長(zhǎng)方形的面積＝10×8＝80（平方厘米）
答：長(zhǎng)方形的面積為80平方厘米。
例3
有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。
解
甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知
甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）
丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）
乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）
答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。
例4
甲乙兩車原來(lái)共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐，兩車原來(lái)各裝蘋果多少筐？
解
“從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐”，這說(shuō)明甲車是大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙的差是（14×2＋3），甲與乙的和是97，因此甲車筐數(shù)＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）
乙車筐數(shù)＝97－64＝33（筐）
答：甲車原來(lái)裝蘋果64筐，乙車原來(lái)裝蘋果33筐。
4、和倍問(wèn)題
【含義】
已知兩個(gè)數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問(wèn)題。
【數(shù)量關(guān)系】
總和÷（幾倍＋1）＝較小的數(shù)
總和－較小的數(shù)＝較大的數(shù)
較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)
【解題思路和方法】
簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。
例1
果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？
解
（1）杏樹有多少棵？248÷（3＋1）＝62（棵）
�。�2）桃樹有多少棵？62×3＝186（棵）
答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。
例2
東西兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)共存糧480噸，東庫(kù)存糧數(shù)是西庫(kù)存糧數(shù)的1.4倍，求兩庫(kù)各存糧多少噸？
解
�。�1）西庫(kù)存糧數(shù)＝480÷（1.4＋1）＝200（噸）
�。�2）東庫(kù)存糧數(shù)＝480－200＝280（噸）
答：東庫(kù)存糧280噸，西庫(kù)存糧200噸。
例3
甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍？
解
每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當(dāng)于每天從甲站開往乙站（28－24）輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當(dāng)作1倍量，這時(shí)乙站的車輛數(shù)就是2倍量，兩站的車輛總數(shù)（52＋32）就相當(dāng)于（2＋1）倍，
那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為
�。�52＋32）÷（2＋1）＝28（輛）
所求天數(shù)為（52－28）÷（28－24）＝6（天）
答：6天以后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍。
例4
甲乙丙三數(shù)之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數(shù)各是多少？
解
乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系，因此把甲數(shù)作為1倍量。
因?yàn)橐冶燃椎?倍少4，所以給乙加上4，乙數(shù)就變成甲數(shù)的2倍；
又因?yàn)楸燃椎?倍多6，所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍；
這時(shí)（170＋4－6）就相當(dāng)于（1＋2＋3）倍。那么，
甲數(shù)＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28
乙數(shù)＝28×2－4＝52
丙數(shù)＝28×3＋6＝90
答：甲數(shù)是28，乙數(shù)是52，丙數(shù)是90。
5、差倍問(wèn)題
【含義】
已知兩個(gè)數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問(wèn)題。
【數(shù)量關(guān)系】
兩個(gè)數(shù)的差÷（幾倍－1）＝較小的數(shù)
較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)
【解題思路和方法】
簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。
例1
果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？
解
�。�1）杏樹有多少棵？124÷（3－1）＝62（棵）
�。�2）桃樹有多少棵？62×3＝186（棵）
答：果園里杏樹是62棵，桃樹是186棵。
例2
爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？
解
�。�1）兒子年齡＝27÷（4－1）＝9（歲）
�。�2）爸爸年齡＝9×4＝36（歲）
答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。
例3
商場(chǎng)改革經(jīng)營(yíng)管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬(wàn)元，又知本月盈利比上月盈利多30萬(wàn)元，求這兩個(gè)月盈利各是多少萬(wàn)元？
解
如果把上月盈利作為1倍量，則（30－12）萬(wàn)元就相當(dāng)于上月盈利的（2－1）倍，因此
上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（萬(wàn)元）
本月盈利＝18＋30＝48（萬(wàn)元）
答：上月盈利是18萬(wàn)元，本月盈利是48萬(wàn)元。
例4
糧庫(kù)有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運(yùn)出小麥和玉米各是9噸，問(wèn)幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？
解
由于每天運(yùn)出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來(lái)的數(shù)量差（138－94）。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相當(dāng)于（3－1）倍，因此
剩下的小麥數(shù)量＝（138－94）÷（3－1）＝22（噸）
運(yùn)出的小麥數(shù)量＝94－22＝72（噸）
運(yùn)糧的天數(shù)＝72÷9＝8（天）
答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。
6、倍比問(wèn)題
【含義】
有兩個(gè)已知的同類量，其中一個(gè)量是另一個(gè)量的若干倍，解題時(shí)先求出這個(gè)倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問(wèn)題。
【數(shù)量關(guān)系】
總量÷一個(gè)數(shù)量＝倍數(shù)
另一個(gè)數(shù)量×倍數(shù)＝另一總量
【解題思路和方法】
先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。
例1
100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？
解
�。�1）3700千克是100千克的多少倍？3700÷100＝37（倍）
�。�2）可以榨油多少千克？40×37＝1480（千克）
列成綜合算式40×（3700÷100）＝1480（千克）
答：可以榨油1480千克。
例2
今年植樹節(jié)這天，某小學(xué)300名師生共植樹400棵，照這樣計(jì)算，全縣48000名師生共植樹多少棵？
解
�。�1）48000名是300名的多少倍？48000÷300＝160（倍）
（2）共植樹多少棵？400×160＝64000（棵）
列成綜合算式400×（48000÷300）＝64000（棵）
答：全縣48000名師生共植樹64000棵。
例3
鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計(jì)算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？
解
（1）800畝是4畝的幾倍？800÷4＝200（倍）
�。�2）800畝收入多少元？11111×200＝2222200（元）
�。�3）16000畝是800畝的幾倍？16000÷800＝20（倍）
（4）16000畝收入多少元？2222200×20＝44444000（元）
答：全鄉(xiāng)800畝果園共收入2222200元，全縣16000畝果園共收入44444000元。
7、相遇問(wèn)題
【含義】
兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體同時(shí)由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問(wèn)題。
【數(shù)量關(guān)系】
相遇時(shí)間＝總路程÷（甲速＋乙速）
總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時(shí)間
【解題思路和方法】
簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。
例1
南京到上海的水路長(zhǎng)392千米，同時(shí)從兩港各開出一艘輪船相對(duì)而行，從南京開出的船每小時(shí)行28千米，從上海開出的船每小時(shí)行21千米，經(jīng)過(guò)幾小時(shí)兩船相遇？
解
392÷（28＋21）＝8（小時(shí)）
答：經(jīng)過(guò)8小時(shí)兩船相遇。
例2
小李和小劉在周長(zhǎng)為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長(zhǎng)時(shí)間？
解
“第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。
因此總路程為400×2
相遇時(shí)間＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）
答：二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時(shí)間。
例3
甲乙二人同時(shí)從兩地騎自行車相向而行，甲每小時(shí)行15千米，乙每小時(shí)行13千米，兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇，求兩地的距離。
解
“兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過(guò)了中點(diǎn)3千米，乙距中點(diǎn)3千米，就是說(shuō)甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，
相遇時(shí)間＝（3×2）÷（15－13）＝3（小時(shí)）
兩地距離＝（15＋13）×3＝84（千米）
答：兩地距離是84千米。
8、追及問(wèn)題
【含義】
兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體在不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)（或者在同一地點(diǎn)而不是同時(shí)出發(fā)，或者在不同地點(diǎn)又不是同時(shí)出發(fā)）作同向運(yùn)動(dòng)，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速度較慢些，在一定時(shí)間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問(wèn)題。
【數(shù)量關(guān)系】
追及時(shí)間＝追及路程÷（快速－慢速）
追及路程＝（快速－慢速）×追及時(shí)間
【解題思路和方法】
簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。
例1
好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？
解
（1）劣馬先走12天能走多少千米？75×12＝900（千米）
（2）好馬幾天追上劣馬？900÷（120－75）＝20（天）
列成綜合算式75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）
答：好馬20天能追上劣馬。
例2
小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。
解
小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈，即200米，此時(shí)小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，須知追及時(shí)間，即小明跑500米所用的時(shí)間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是
�。�500－200）÷［40×（500÷200）］
�。�300÷100＝3（米）
答：小亮的速度是每秒3米。
例3
我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點(diǎn)開始從甲地以每小時(shí)10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點(diǎn)接到命令，以每小時(shí)30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問(wèn)解放軍幾個(gè)小時(shí)可以追上敵人？
解
敵人逃跑時(shí)間與解放軍追擊時(shí)間的時(shí)差是（22－16）小時(shí)，這段時(shí)間敵人逃跑的路程是［10×（22－6）］千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知
追及時(shí)間＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）
�。�220÷20＝11（小時(shí)）
答：解放軍在11小時(shí)后可以追上敵人。
例4
一輛客車從甲站開往乙站，每小時(shí)行48千米；一輛貨車同時(shí)從乙站開往甲站，每小時(shí)行40千米，兩車在距兩站中點(diǎn)16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。
解
這道題可以由相遇問(wèn)題轉(zhuǎn)化為追及問(wèn)題來(lái)解決。從題中可知客車落后于貨車（16×2）千米，客車追上貨車的時(shí)間就是前面所說(shuō)的相遇時(shí)間，
這個(gè)時(shí)間為16×2÷（48－40）＝4（小時(shí)）
所以兩站間的距離為（48＋40）×4＝352（千米）
列成綜合算式（48＋40）×［16×2÷（48－40）］
＝88×4
�。�352（千米）
答：甲乙兩站的距離是352千米。
9、植樹問(wèn)題
【含義】
按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個(gè)量之間，已知其中的兩個(gè)量，要求第三個(gè)量，這類應(yīng)用題叫做植樹問(wèn)題。
【數(shù)量關(guān)系】
線形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距＋1
環(huán)形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距
方形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距－4
三角形植樹棵數(shù)＝距離÷棵距－3
面積植樹棵數(shù)＝面積÷（棵距×行距）
【解題思路和方法】
先弄清楚植樹問(wèn)題的類型，然后可以利用公式。
例1
一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？
解
136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）
答：一共要栽69棵垂柳。
例2
一個(gè)圓形池塘周長(zhǎng)為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？
解
400÷4＝100（棵）
答：一共能栽100棵白楊樹。
例3
一個(gè)正方形的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)，每邊長(zhǎng)220米，每隔8米安裝一個(gè)照明燈，一共可以安裝多少個(gè)照明燈？
解
220×4÷8－4＝110－4＝106（個(gè)）
答：一共可以安裝106個(gè)照明燈。
例4
給一個(gè)面積為96平方米的住宅鋪設(shè)地板磚，所用地板磚的長(zhǎng)和寬分別是60厘米和40厘米，問(wèn)至少需要多少塊地板磚？
解
96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（塊）
答：至少需要400塊地板磚。
例5
一座大橋長(zhǎng)500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個(gè)電桿，每個(gè)電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？
解
�。�1）橋的一邊有多少個(gè)電桿？500÷50＋1＝11（個(gè)）
（2）橋的兩邊有多少個(gè)電桿？11×2＝22（個(gè)）
（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？22×2＝44（盞）
答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。
10、年齡問(wèn)題
【含義】
這類問(wèn)題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點(diǎn)是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長(zhǎng)在發(fā)生變化。
【數(shù)量關(guān)系】
年齡問(wèn)題往往與和差、和倍、差倍問(wèn)題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問(wèn)題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個(gè)特點(diǎn)。
【解題思路和方法】
可以利用“差倍問(wèn)題”的解題思路和方法。
例1
爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？
解
35÷5＝7（倍）
�。�35+1）÷（5+1）＝6（倍）
答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，
明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。
例2
母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？
解
（1）母親比女兒的年齡大多少歲？37－7＝30（歲）
�。�2）幾年后母親的年齡是女兒的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）
列成綜合算式（37－7）÷（4－1）－7＝3（年）
答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。
例3
甲對(duì)乙說(shuō)：“當(dāng)我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你才4歲”。乙對(duì)甲說(shuō)：“當(dāng)我的歲數(shù)將來(lái)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你將61歲”。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？
解
這里涉及到三個(gè)年份：過(guò)去某一年、今年、將來(lái)某一年。列表分析：
過(guò)去某一年 今年 將來(lái)某一年
甲 □歲 △歲 61歲
乙 4歲 □歲 △歲
表中兩個(gè)“□”表示同一個(gè)數(shù)，兩個(gè)“△”表示同一個(gè)數(shù)。
因?yàn)閮蓚�(gè)人的年齡差總相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差數(shù)列，所以，61應(yīng)該比4大3個(gè)年齡差，
因此二人年齡差為（61－4）÷3＝19（歲）
甲今年的歲數(shù)為△＝61－19＝42（歲）
乙今年的歲數(shù)為□＝42－19＝23（歲）
答：甲今年的歲數(shù)是42歲，乙今年的歲數(shù)是23歲。
11、行船問(wèn)題
【含義】
行船問(wèn)題也就是與航行有關(guān)的問(wèn)題。解答這類問(wèn)題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。
【數(shù)量關(guān)系】
�。�?biāo)俣龋嫠俣龋?＝船速
�。�?biāo)俣龋嫠俣龋?＝水速
順?biāo)伲酱佟?－逆水速＝逆水速＋水速×2
逆水速＝船速×2－順?biāo)伲巾標(biāo)伲佟?
【解題思路和方法】
大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。
例1
一只船順?biāo)?20千米需用8小時(shí)，水流速度為每小時(shí)15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時(shí)？
解
由條件知，順?biāo)伲酱伲伲?20÷8，而水速為每小時(shí)15千米，所以，船速為每小時(shí)320÷8－15＝25（千米）
船的逆水速為25－15＝10（千米）
船逆水行這段路程的時(shí)間為320÷10＝32（小時(shí)）
答：這只船逆水行這段路程需用32小時(shí)。
例2
甲船逆水行360千米需18小時(shí)，返回原地需10小時(shí)；乙船逆水行同樣一段距離需15小時(shí)，返回原地需多少時(shí)間？
解
由題意得甲船速＋水速＝360÷10＝36
甲船速－水速＝360÷18＝20
可見（36－20）相當(dāng)于水速的2倍，
所以，水速為每小時(shí)（36－20）÷2＝8（千米）
又因?yàn)�，乙船速－水速�?60÷15，
所以，乙船速為360÷15＋8＝32（千米）
乙船順?biāo)贋?2＋8＝40（千米）
所以，乙船順?biāo)叫?60千米需要
360÷40＝9（小時(shí)）
答：乙船返回原地需要9小時(shí)。
12、列車問(wèn)題
【含義】
這是與列車行駛有關(guān)的一些問(wèn)題，解答時(shí)要注意列車車身的長(zhǎng)度。
【數(shù)量關(guān)系】
火車過(guò)橋：過(guò)橋時(shí)間＝（車長(zhǎng)＋橋長(zhǎng)）÷車速
火車追及：追及時(shí)間＝（甲車長(zhǎng)＋乙車長(zhǎng)＋距離）
÷（甲車速－乙車速）
火車相遇：相遇時(shí)間＝（甲車長(zhǎng)＋乙車長(zhǎng)＋距離）
÷（甲車速＋乙車速）
【解題思路和方法】
大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。
例1
一座大橋長(zhǎng)2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過(guò)大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長(zhǎng)多少米？
解
火車3分鐘所行的路程，就是橋長(zhǎng)與火車車身長(zhǎng)度的和。
�。�1）火車3分鐘行多少米？900×3＝2700（米）
�。�2）這列火車長(zhǎng)多少米？2700－2400＝300（米）
列成綜合算式900×3－2400＝300（米）
答：這列火車長(zhǎng)300米。
例2
一列長(zhǎng)200米的火車以每秒8米的速度通過(guò)一座大橋，用了2分5秒鐘時(shí)間，求大橋的長(zhǎng)度是多少米？
解
火車過(guò)橋所用的時(shí)間是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8×125）米，這段路程就是（200米＋橋長(zhǎng)），所以，橋長(zhǎng)為
8×125－200＝800（米）
答：大橋的長(zhǎng)度是800米。
例3
一列長(zhǎng)225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長(zhǎng)140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過(guò)慢車需要多長(zhǎng)時(shí)間？
解
從追上到追過(guò)，快車比慢車要多行（225＋140）米，而快車比慢車每秒多行（22－17）米，因此，所求的時(shí)間為
�。�225＋140）÷（22－17）＝73（秒）
答：需要73秒。
例4
一列長(zhǎng)150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個(gè)扳道工人以每秒3米的速度迎面走來(lái)，那么，火車從工人身旁駛過(guò)需要多少時(shí)間？
解
如果把人看作一列長(zhǎng)度為零的火車，原題就相當(dāng)于火車相遇問(wèn)題。
150÷（22＋3）＝6（秒）
答：火車從工人身旁駛過(guò)需要6秒鐘。
13、時(shí)鐘問(wèn)題
【含義】
就是研究鐘面上時(shí)針與分針關(guān)系的問(wèn)題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時(shí)鐘問(wèn)題可與追及問(wèn)題相類比。
【數(shù)量關(guān)系】
分針的速度是時(shí)針的12倍，
二者的速度差為11/12。
通常按追及問(wèn)題來(lái)對(duì)待，也可以按差倍問(wèn)題來(lái)計(jì)算。
【解題思路和方法】
變通為“追及問(wèn)題”后可以直接利用公式。
例1
從時(shí)針指向4點(diǎn)開始，再經(jīng)過(guò)多少分鐘時(shí)針正好與分針重合？
解
鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時(shí)走60格；時(shí)針每小時(shí)走5格，每分鐘走5/60＝1/12格。每分鐘分針比時(shí)針多走（1－1/12）＝11/12格。4點(diǎn)整，時(shí)針在前，分針在后，兩針相距20格。所以
分針追上時(shí)針的時(shí)間為20÷（1－1/12）≈22（分）
答：再經(jīng)過(guò)22分鐘時(shí)針正好與分針重合。
例2
四點(diǎn)和五點(diǎn)之間，時(shí)針和分針在什么時(shí)候成直角？
解
鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時(shí)候相差15格（包括分針在時(shí)針的前或后15格兩種情況）。四點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后（5×4）格，如果分針在時(shí)針后與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走（5×4－15）格，如果分針在時(shí)針前與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走（5×4＋15）格。再根據(jù)1分鐘分針比時(shí)針多走（1－1/12）格就可以求出二針成直角的時(shí)間。
（5×4－15）÷（1－1/12）≈6（分）
�。�5×4＋15）÷（1－1/12）≈38（分）
答：4點(diǎn)06分及4點(diǎn)38分時(shí)兩針成直角。
例3
六點(diǎn)與七點(diǎn)之間什么時(shí)候時(shí)針與分針重合？
解
六點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后（5×6）格，分針要與時(shí)針重合，就得追上時(shí)針。這實(shí)際上是一個(gè)追及問(wèn)題。
�。�5×6）÷（1－1/12）≈33（分）
答：6點(diǎn)33分的時(shí)候分針與時(shí)針重合。
14、盈虧問(wèn)題
【含義】
根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問(wèn)題。
【數(shù)量關(guān)系】
一般地說(shuō)，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：
參加分配總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）÷分配差
如果兩次都盈或都虧，則有：
參加分配總?cè)藬?shù)＝（大盈－小盈）÷分配差
參加分配總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）÷分配差
【解題思路和方法】
大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。
例1
給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個(gè)就余11個(gè)；若每人分4個(gè)就少1個(gè)。問(wèn)有多少小朋友？有多少個(gè)蘋果？
解
按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）÷分配差”的數(shù)量關(guān)系：
�。�1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人）
�。�2）有多少個(gè)蘋果？3×12＋11＝47（個(gè)）
答：有小朋友12人，有47個(gè)蘋果。
例2
修一條公路，如果每天修260米，修完全長(zhǎng)就得延長(zhǎng)8天；如果每天修300米，修完全長(zhǎng)仍得延長(zhǎng)4天。這條路全長(zhǎng)多少米？
解
題中原定完成任務(wù)的天數(shù)，就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，按照“參加分配的總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）÷分配差”的數(shù)量關(guān)系，可以得知
原定完成任務(wù)的天數(shù)為
�。�260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）
這條路全長(zhǎng)為300×（22＋4）＝7800（米）
答：這條路全長(zhǎng)7800米。
例3
學(xué)校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問(wèn)有多少車？多少人？
解
本題中的車輛數(shù)就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，于是就有
（1）有多少車？（30－0）÷（45－40）＝6（輛）
（2）有多少人？40×6＋30＝270（人）
答：有6輛車，有270人。
15、工程問(wèn)題
【含義】
工程問(wèn)題主要研究工作量、工作效率和工作時(shí)間三者之間的關(guān)系。這類問(wèn)題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項(xiàng)工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時(shí)，常常用單位“1”表示工作總量。
【數(shù)量關(guān)系】
解答工程問(wèn)題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)（它表示單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系列出算式。
工作量＝工作效率×工作時(shí)間
工作時(shí)間＝工作量÷工作效率
工作時(shí)間＝總工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
【解題思路和方法】
變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。
例1
一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊(duì)合作，需要幾天完成？
解
題中的“一項(xiàng)工程”是工作總量，由于沒有給出這項(xiàng)工程的具體數(shù)量，因此，把此項(xiàng)工程看作單位“1”。由于甲隊(duì)獨(dú)做需10天完成，那么每天完成這項(xiàng)工程的1/10；乙隊(duì)單獨(dú)做需15天完成，每天完成這項(xiàng)工程的1/15；兩隊(duì)合做，每天可以完成這項(xiàng)工程的（1/10＋1/15）。
由此可以列出算式：1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）
答：兩隊(duì)合做需要6天完成。
例2
一批零件，甲獨(dú)做6小時(shí)完成，乙獨(dú)做8小時(shí)完成�，F(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲比乙多做24個(gè)，求這批零件共有多少個(gè)？
解一
設(shè)總工作量為1，則甲每小時(shí)完成1/6，乙每小時(shí)完成1/8，甲比乙每小時(shí)多完成（1/6－1/8），二人合做時(shí)每小時(shí)完成（1/6＋1/8）。因?yàn)槎撕献鲂枰?÷（1/6＋1/8）］小時(shí)，這個(gè)時(shí)間內(nèi)，甲比乙多做24個(gè)零件，所以
（1）每小時(shí)甲比乙多做多少零件？
24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（個(gè)）
�。�2）這批零件共有多少個(gè)？
7÷（1/6－1/8）＝168（個(gè)）
答：這批零件共有168個(gè)。
解二
上面這道題還可以用另一種方法計(jì)算：
兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲乙的工作量之比為1/6∶1/8＝4∶3
由此可知，甲比乙多完成總工作量的4－3/4＋3＝1/7
所以，這批零件共有24÷1/7＝168（個(gè)）
例3
一件工作，甲獨(dú)做12小時(shí)完成，乙獨(dú)做10小時(shí)完成，丙獨(dú)做15小時(shí)完成�，F(xiàn)在甲先做2小時(shí)，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時(shí)才能完成？
解
必須先求出各人每小時(shí)的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會(huì)給計(jì)算帶來(lái)方便，因此，我們?cè)O(shè)總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，則甲乙丙三人的工作效率分別是
60÷12＝560÷10＝660÷15＝4
因此余下的工作量由乙丙合做還需要
（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小時(shí)）
答：還需要5小時(shí)才能完成。
例4
一個(gè)水池，底部裝有一個(gè)常開的排水管，上部裝有若干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管。當(dāng)打開4個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要5小時(shí)才能注滿水池；當(dāng)打開2個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要15小時(shí)才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時(shí)將水池注滿，至少要打開多少個(gè)進(jìn)水管？
解
注（排）水問(wèn)題是一類特殊的工程問(wèn)題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，水的流量就是工作量，單位時(shí)間內(nèi)水的流量就是工作效率。
要2小時(shí)內(nèi)將水池注滿，即要使2小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進(jìn)水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設(shè)某一個(gè)量為單位1，其余兩個(gè)量便可由條件推出。
我們?cè)O(shè)每個(gè)同樣的進(jìn)水管每小時(shí)注水量為1，則4個(gè)進(jìn)水管5小時(shí)注水量為（1×4×5），2個(gè)進(jìn)水管15小時(shí)注水量為（1×2×15），從而可知
每小時(shí)的排水量為（1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1
即一個(gè)排水管與每個(gè)進(jìn)水管的工作效率相同。由此可知
一池水的總工作量為1×4×5－1×5＝15
又因?yàn)樵?小時(shí)內(nèi)，每個(gè)進(jìn)水管的注水量為1×2，
所以，2小時(shí)內(nèi)注滿一池水
至少需要多少個(gè)進(jìn)水管？（15＋1×2）÷（1×2）
�。�8.5≈9（個(gè)）
答：至少需要9個(gè)進(jìn)水管。
16、正反比例問(wèn)題
【含義】
兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用。
兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用。
【數(shù)量關(guān)系】
判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問(wèn)題去解決，而且比較簡(jiǎn)捷。
【解題思路和方法】
解決這類問(wèn)題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。
正反比例問(wèn)題與前面講過(guò)的倍比問(wèn)題基本類似。
例1
修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長(zhǎng)是多少米？
解
由條件知，公路總長(zhǎng)不變。
原已修長(zhǎng)度∶總長(zhǎng)度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12
現(xiàn)已修長(zhǎng)度∶總長(zhǎng)度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12
比較以上兩式可知，把總長(zhǎng)度當(dāng)作12份，則300米相當(dāng)于（4－3）份，從而知公路總長(zhǎng)為300÷（4－3）×12＝3600（米）
答：這條公路總長(zhǎng)3600米。
例2
張晗做4道應(yīng)用題用了28分鐘，照這樣計(jì)算，91分鐘可以做幾道應(yīng)用題？
解
做題效率一定，做題數(shù)量與做題時(shí)間成正比例關(guān)系
設(shè)91分鐘可以做X應(yīng)用題則有28∶4＝91∶X
28X＝91×4X＝91×4÷28X＝13
答：91分鐘可以做13道應(yīng)用題。
例3
孫亮看《十萬(wàn)個(gè)為什么》這本書，每天看24頁(yè)，15天看完，如果每天看36頁(yè)，幾天就可以看完？
解
書的頁(yè)數(shù)一定，每天看的頁(yè)數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系
設(shè)X天可以看完，就有24∶36＝X∶15
36X＝24×15X＝10
答：10天就可以看完。
17、按比例分配問(wèn)題
【含義】
所謂按比例分配，就是把一個(gè)數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。
【數(shù)量關(guān)系】
從條件看，已知總量和幾個(gè)部分量的比；從問(wèn)題看，求幾個(gè)部分量各是多少�？偡輸�(shù)＝比的前后項(xiàng)之和
【解題思路和方法】
先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項(xiàng)相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項(xiàng)分別作分子），再按照求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的計(jì)算方法，分別求出各部分量的值。
例1
學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級(jí)三個(gè)班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個(gè)班各植樹多少棵？
解
總份數(shù)為47＋48＋45＝140
一班植樹560×47/140＝188（棵）
二班植樹560×48/140＝192（棵）
三班植樹560×45/140＝180（棵）
答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。
例2
用60厘米長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長(zhǎng)各是多少厘米？
解
3＋4＋5＝1260×3/12＝15（厘米）
60×4/12＝20（厘米）
60×5/12＝25（厘米）
答：三角形三條邊的長(zhǎng)分別是15厘米、20厘米、25厘米。
例3
從前有個(gè)牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個(gè)兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個(gè)兒子各分多少只羊。
解
如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到
1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2
9＋6＋2＝1717×9/17＝9
17×6/17＝617×2/17＝2
答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。
例4
某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為8∶12∶21，第一車間比第二車間少80人，三個(gè)車間共多少人？
解
80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）
答：三個(gè)車間一共820人。
18、百分?jǐn)?shù)問(wèn)題
【含義】
百分?jǐn)?shù)是表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常�？梢酝ǚ�、約分，而百分?jǐn)?shù)則無(wú)需；分?jǐn)?shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分?jǐn)?shù)只能表示“率”；分?jǐn)?shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)；百分?jǐn)?shù)有一個(gè)專門的記號(hào)“%”。
在實(shí)際中和常用到“百分點(diǎn)”這個(gè)概念，一個(gè)百分點(diǎn)就是1%，兩個(gè)百分點(diǎn)就是2%。
【數(shù)量關(guān)系】
掌握“百分?jǐn)?shù)”、“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系：
百分?jǐn)?shù)＝比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量
標(biāo)準(zhǔn)量＝比較量÷百分?jǐn)?shù)
【解題思路和方法】
一般有三種基本類型：
�。�1）求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾；
�。�2）已知一個(gè)數(shù)，求它的百分之幾是多少；
�。�3）已知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。
例1
倉(cāng)庫(kù)里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？
解
�。�1）用去的占720÷（720＋6480）＝10%
�。�2）剩下的占6480÷（720＋6480）＝90%
答：用去了10%，剩下90%。
例2
紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？
解
本題中女職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，男職工比女職工少的人數(shù)是比較量所以（525－420）÷525＝0.2＝20%
或者1－420÷525＝0.2＝20%
答：男職工人數(shù)比女職工少20%。
例3
紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？
解
本題中以男職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，女職工比男職工多的人數(shù)為比較量，因此
�。�525－420）÷420＝0.25＝25%
或者525÷420－1＝0.25＝25%
答：女職工人數(shù)比男職工多25%。
例4
紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？
解
�。�1）男職工占420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%
（2）女職工占525÷（420＋525）＝0.556＝55.6%
答：男職工占全廠職工總數(shù)的44.4%，女職工占55.6%。
19、“牛吃草”問(wèn)題
【含義】
“牛吃草”問(wèn)題是大科學(xué)家牛頓提出的問(wèn)題，也叫“牛頓問(wèn)題”。這類問(wèn)題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長(zhǎng)這個(gè)因素。
【數(shù)量關(guān)系】
草總量＝原有草量＋草每天生長(zhǎng)量×天數(shù)
【解題思路和方法】
解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長(zhǎng)量。
例1
一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問(wèn)多少頭牛5天可以把草吃完？
解
草是均勻生長(zhǎng)的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長(zhǎng)量×天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說(shuō)5天內(nèi)的草總量要5天吃完的話，得有多少頭牛？設(shè)每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：
�。�1）求草每天的生長(zhǎng)量
因?yàn)�，一方�?0天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長(zhǎng)量，所以
1×10×20＝原有草量＋20天內(nèi)生長(zhǎng)量
同理1×15×10＝原有草量＋10天內(nèi)生長(zhǎng)量
由此可知（20－10）天內(nèi)草的生長(zhǎng)量為
1×10×20－1×15×10＝50
因此，草每天的生長(zhǎng)量為50÷（20－10）＝5
（2）求原有草量
原有草量＝10天內(nèi)總草量－10內(nèi)生長(zhǎng)量＝1×15×10－5×10＝100
（3）求5天內(nèi)草總量
5天內(nèi)草總量＝原有草量＋5天內(nèi)生長(zhǎng)量＝100＋5×5＝125
�。�4）求多少頭牛5天吃完草
因?yàn)槊款^牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。
因此5天吃完草需要牛的頭數(shù)125÷5＝25（頭）
答：需要5頭牛5天可以把草吃完。
例2
一只船有一個(gè)漏洞，水以均勻速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)了一些水。如果有12個(gè)人淘水，3小時(shí)可以淘完；如果只有5人淘
水，要10小時(shí)才能淘完。求17人幾小時(shí)可以淘完？
解
這是一道變相的“牛吃草”問(wèn)題。與上題不同的是，最后一問(wèn)給出了人數(shù)（相當(dāng)于“牛數(shù)”），求時(shí)間。設(shè)每人每小時(shí)淘水量為1，按以下步驟計(jì)算：
�。�1）求每小時(shí)進(jìn)水量
因?yàn)椋?小時(shí)內(nèi)的總水量＝1×12×3＝原有水量＋3小時(shí)進(jìn)水量
10小時(shí)內(nèi)的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小時(shí)進(jìn)水量
所以，（10－3）小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量為1×5×10－1×12×3＝14
因此，每小時(shí)的進(jìn)水量為14÷（10－3）＝2
（2）求淘水前原有水量
原有水量＝1×12×3－3小時(shí)進(jìn)水量＝36－2×3＝30
�。�3）求17人幾小時(shí)淘完
17人每小時(shí)淘水量為17，因?yàn)槊啃r(shí)漏進(jìn)水為2，所以實(shí)際上船中每小時(shí)減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時(shí)間是
30÷（17－2）＝2（小時(shí)）
答：17人2小時(shí)可以淘完水。
20、雞兔同籠問(wèn)題
【含義】
這是古典的算術(shù)問(wèn)題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問(wèn)題，叫做第一雞兔同籠問(wèn)題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問(wèn)題叫做第二雞兔同籠問(wèn)題。
【數(shù)量關(guān)系】
第一雞兔同籠問(wèn)題：
假設(shè)全都是雞，則有
兔數(shù)＝（實(shí)際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)）÷（4－2）
假設(shè)全都是兔，則有
雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)－實(shí)際腳數(shù)）÷（4－2）
第二雞兔同籠問(wèn)題：
假設(shè)全都是雞，則有
兔數(shù)＝（2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）÷（4＋2）
假設(shè)全都是兔，則有
雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）
【解題思路和方法】
解答此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類問(wèn)題也叫置換問(wèn)題。通過(guò)先假設(shè)，再置換，使問(wèn)題得到解決。
例1
長(zhǎng)毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請(qǐng)你仔細(xì)算一算，多少兔子多少雞？
解
假設(shè)35只全為兔，則
雞數(shù)＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）
兔數(shù)＝35－23＝12（只）
也可以先假設(shè)35只全為雞，則
兔數(shù)＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）
雞數(shù)＝35－12＝23（只）
答：有雞23只，有兔12只。
例2
2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？
解
此題實(shí)際上是改頭換面的“雞兔同籠”問(wèn)題�！懊慨�菠菜施肥（1÷2）千克”與“每只雞有兩個(gè)腳”相對(duì)應(yīng)，“每畝白菜施肥（3÷5）千克”與“每只兔有4只腳”相對(duì)應(yīng)，“16畝”與“雞兔總數(shù)”相對(duì)應(yīng)，“9千克”與“雞兔總腳數(shù)”相對(duì)應(yīng)。假設(shè)16畝全都是菠菜，則有
白菜畝數(shù)＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（畝）
答：白菜地有10畝。
例3
李老師用69元給學(xué)校買作業(yè)本和日記本共45本，作業(yè)本每本3.20元，日記本每本0.70元。問(wèn)作業(yè)本和日記本各買了多少本？
解
此題可以變通為“雞兔同籠”問(wèn)題。假設(shè)45本全都是日記本，則有
作業(yè)本數(shù)＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）
日記本數(shù)＝45－15＝30（本）
答：作業(yè)本有15本，日記本有30本。
例4
（第二雞兔同籠問(wèn)題）雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問(wèn)雞與兔各多少只？
解
假設(shè)100只全都是雞，則有
兔數(shù)＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）
雞數(shù)＝100－20＝80（只）
答：有雞80只，有兔20只。
例5
有100個(gè)饃100個(gè)和尚吃，大和尚一人吃3個(gè)饃，小和尚3人吃1個(gè)饃，問(wèn)大小和尚各多少人？
解
假設(shè)全為大和尚，則共吃饃（3×100）個(gè)，比實(shí)際多吃（3×100－100）個(gè)，這是因?yàn)榘研『蜕幸菜愠闪舜蠛蜕�，因此我們�(cè)诒ＷC和尚總數(shù)100不變的情況下，以“小”換“大”，一個(gè)小和尚換掉一個(gè)大和尚可減少饃（3－1/3）個(gè)。因此，共有小和尚
（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）
共有大和尚100－75＝25（人）
答：共有大和尚25人，有小和尚75人。
21、方陣問(wèn)題
【含義】
將若干人或物依一定條件排成正方形（簡(jiǎn)稱方陣），根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問(wèn)題就叫做方陣問(wèn)題。
【數(shù)量關(guān)系】
�。�1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系：
四周人數(shù)＝（每邊人數(shù)－1）×4
每邊人數(shù)＝四周人數(shù)÷4＋1
�。�2）方陣總?cè)藬?shù)的求法：
實(shí)心方陣：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)
空心方陣：總?cè)藬?shù)＝（外邊人數(shù)）?－（內(nèi)邊人數(shù)）?
內(nèi)邊人數(shù)＝外邊人數(shù)－層數(shù)×2
�。�3）若將空心方陣分成四個(gè)相等的矩形計(jì)算，則：
總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×4
【解題思路和方法】
方陣問(wèn)題有實(shí)心與空心兩種。實(shí)心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。
例1
在育才小學(xué)的運(yùn)動(dòng)會(huì)上，進(jìn)行體操表演的同學(xué)排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學(xué)一共有多少人？
解
22×22＝484（人）
答：參加體操表演的同學(xué)一共有484人。
例2
有一個(gè)3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數(shù)。
解
10－（10－3×2）?
＝84（人）
答：全方陣84人。
例3
有一隊(duì)學(xué)生，排成一個(gè)中空方陣，最外層人數(shù)是52人，最內(nèi)層人數(shù)是28人，這隊(duì)學(xué)生共多少人？
解
（1）中空方陣外層每邊人數(shù)＝52÷4＋1＝14（人）
�。�2）中空方陣內(nèi)層每邊人數(shù)＝28÷4－1＝6（人）
�。�3）中空方陣的總?cè)藬?shù)＝14×14－6×6＝160（人）
答：這隊(duì)學(xué)生共160人。
例4
一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形縱橫兩個(gè)方向各增加一層，則缺少9只棋子，問(wèn)有棋子多少個(gè)？
解
�。�1）縱橫方向各增加一層所需棋子數(shù)＝4＋9＝13（只）
�。�2）縱橫增加一層后正方形每邊棋子數(shù)＝（13＋1）÷2＝7（只）
�。�3）原有棋子數(shù)＝7×7－9＝40（只）
答：棋子有40只。
例5
有一個(gè)三角形樹林，頂點(diǎn)上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個(gè)樹林一共有多少棵樹？
解
第一種方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）
第二種方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵）
答：這個(gè)三角形樹林一共有15棵樹。
21、方陣問(wèn)題
【含義】
將若干人或物依一定條件排成正方形（簡(jiǎn)稱方陣），根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問(wèn)題就叫做方陣問(wèn)題。
【數(shù)量關(guān)系】
（1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系：
四周人數(shù)＝（每邊人數(shù)－1）×4
每邊人數(shù)＝四周人數(shù)÷4＋1
�。�2）方陣總?cè)藬?shù)的求法：
實(shí)心方陣：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)
空心方陣：總?cè)藬?shù)＝（外邊人數(shù)）?－（內(nèi)邊人數(shù)）?
內(nèi)邊人數(shù)＝外邊人數(shù)－層數(shù)×2
�。�3）若將空心方陣分成四個(gè)相等的矩形計(jì)算，則：
總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×4
【解題思路和方法】
方陣問(wèn)題有實(shí)心與空心兩種。實(shí)心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。
例1
在育才小學(xué)的運(yùn)動(dòng)會(huì)上，進(jìn)行體操表演的同學(xué)排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學(xué)一共有多少人？
解
22×22＝484（人）
答：參加體操表演的同學(xué)一共有484人。
例2
有一個(gè)3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數(shù)。
解
10－（10－3×2）?
�。�84（人）
答：全方陣84人。
例3
有一隊(duì)學(xué)生，排成一個(gè)中空方陣，最外層人數(shù)是52人，最內(nèi)層人數(shù)是28人，這隊(duì)學(xué)生共多少人？
解
�。�1）中空方陣外層每邊人數(shù)＝52÷4＋1＝14（人）
�。�2）中空方陣內(nèi)層每邊人數(shù)＝28÷4－1＝6（人）
（3）中空方陣的總?cè)藬?shù)＝14×14－6×6＝160（人）
答：這隊(duì)學(xué)生共160人。
例4
一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形縱橫兩個(gè)方向各增加一層，則缺少9只棋子，問(wèn)有棋子多少個(gè)？
解
（1）縱橫方向各增加一層所需棋子數(shù)＝4＋9＝13（只）
�。�2）縱橫增加一層后正方形每邊棋子數(shù)＝（13＋1）÷2＝7（只）
�。�3）原有棋子數(shù)＝7×7－9＝40（只）
答：棋子有40只。
例5
有一個(gè)三角形樹林，頂點(diǎn)上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個(gè)樹林一共有多少棵樹？
解
第一種方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）
第二種方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵）
答：這個(gè)三角形樹林一共有15棵樹。
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