微積分為邏輯嚴(yán)密的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科，被稱(chēng)為“Mathematical Analysis”，中文譯作“數(shù)學(xué)分析”。以下是yjbys小編整理的關(guān)于高等數(shù)學(xué)的黑板報(bào)，歡迎參考借鑒!
【研究對(duì)象】
牛頓數(shù)學(xué)分析的研究對(duì)象是函數(shù)，它從局部和整體這兩個(gè)方面研究函數(shù)的基本性態(tài)，從而形成微分學(xué)和積分學(xué)的基本內(nèi)容。
微分學(xué)研究變化率等函數(shù)的局部特征，導(dǎo)數(shù)和微分是它的主要概念，求導(dǎo)數(shù)的過(guò)程就是微分法。圍繞著導(dǎo)數(shù)與微分的性質(zhì)、計(jì)算和直接應(yīng)用，形成微分學(xué)的主要內(nèi)容。積分學(xué)則從總體上研究微小變化(尤其是非均勻變化)積累的總效果，其基本概念是原函數(shù)(反導(dǎo)數(shù))和定積分，求積分的過(guò)程就是積分法。積分的性質(zhì)、計(jì)算、推廣與直接應(yīng)用構(gòu)成積分學(xué)的全部?jī)?nèi)容。牛頓和萊布尼茨對(duì)數(shù)學(xué)的杰出貢獻(xiàn)就在于，他們?cè)?670年左右，總結(jié)了求導(dǎo)數(shù)與求積分的一系列基本法則，發(fā)現(xiàn)了求導(dǎo)數(shù)與求積分是兩種互逆的運(yùn)算，并通過(guò)后來(lái)以他們的名字命名的著名公式—牛頓-萊布尼茨公式—反映了這種互逆關(guān)系，從而使本來(lái)各自獨(dú)立發(fā)展的微分學(xué)和積分學(xué)結(jié)合而成一門(mén)新的學(xué)科—微積分學(xué)。又由于他們及一些后繼學(xué)者(特別是歐拉(Euler))的貢獻(xiàn)，使得本來(lái)僅為少數(shù)數(shù)學(xué)家所了解，只能相當(dāng)艱難地處理一些個(gè)別具體問(wèn)題的微分與積分方法，成為一種常人稍加訓(xùn)練即可掌握的近于機(jī)械的方法，打開(kāi)了把它廣泛應(yīng)用于科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的大門(mén)，其影響所及，難以估量。因此，微積分的出現(xiàn)與發(fā)展被認(rèn)為是人類(lèi)文明史上劃時(shí)代的事件之一。與積分相比，無(wú)窮級(jí)數(shù)也是微小量的疊加與積累，只不過(guò)取離散的形式(積分是連續(xù)的形式)。因此，在數(shù)學(xué)分析中，無(wú)窮級(jí)數(shù)與微積分從來(lái)都是密不可分和相輔相成的。在歷史上，無(wú)窮級(jí)數(shù)的使用由來(lái)已久，但只在成為數(shù)學(xué)分析的一部分后，才得到真正的發(fā)展和廣泛應(yīng)用。
【基本方法】
歐拉數(shù)學(xué)分析的基本方法是極限的方法，或者說(shuō)是無(wú)窮小分析。洛比達(dá)(L’Hospital)于1696年在巴黎出版的世界上第一本微積分教科書(shū)，歐拉于1748年出版的兩卷本溝通微積分與初等分析的書(shū)，書(shū)名中都出現(xiàn)過(guò)無(wú)窮小分析這個(gè)詞。在微積分學(xué)發(fā)展的初期，這種新的方法顯示出巨大的力量，因而得到大批重要的成果。許多與微積分有關(guān)的新的數(shù)學(xué)分支，如變分法、微分方程以至于微分幾何和復(fù)變函數(shù)論，都在18—19世紀(jì)初發(fā)展起來(lái)。然而，初期的分析還是比較粗糙的，被新方法的力量鼓舞的數(shù)學(xué)家們經(jīng)常不顧演繹的邏輯根據(jù)，使用著直觀的猜測(cè)和自相矛盾的推理，以致在整個(gè)18世紀(jì)，對(duì)這種方法的合理性普遍存在著懷疑。這些懷疑在很大程度上是從當(dāng)時(shí)經(jīng)常使用的無(wú)窮小的含義與用法上引起的。隨意使用與解釋無(wú)窮小導(dǎo)致了混亂和神秘感。許多人參與了無(wú)窮小本質(zhì)的論爭(zhēng)，其中有些人，如拉格朗日(Lagrange)，試圖排除無(wú)窮小與極限，把微積分代數(shù)化。論爭(zhēng)使函數(shù)與極限的概念逐漸明朗化。越來(lái)越多的的數(shù)學(xué)家認(rèn)識(shí)到，必須把數(shù)學(xué)分析的概念與其在客觀世界的原型以及人的直覺(jué)區(qū)分開(kāi)來(lái)。
因而，從19世紀(jì)初開(kāi)始了一個(gè)一個(gè)把分析算術(shù)化(使分析成為一種像算術(shù)那樣的演繹系統(tǒng))為特征的新的數(shù)學(xué)分析的批判改造時(shí)期�？挛饔�1821年出版的《分析教程》是分析嚴(yán)密化的一個(gè)標(biāo)志。在這本書(shū)中，柯西建立了接近現(xiàn)代形式的極限，把無(wú)窮小定義為趨于零的變量，從而結(jié)束了百年的爭(zhēng)論。在極限的基礎(chǔ)上，柯西定義了函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、連續(xù)函數(shù)的積分和級(jí)數(shù)的收斂性(后來(lái)知道，波爾查諾(Bolzano)同時(shí)也做過(guò)類(lèi)似的工作)。進(jìn)一步，狄利克雷于(Dirichlet)1837年提出了函數(shù)的嚴(yán)格定義，魏爾斯特拉斯引進(jìn)了極限的ε-δ定義。基本上實(shí)現(xiàn)了分析的算術(shù)化，使分析從幾何直觀的局限中得到了“解放”，從而驅(qū)散了17—18世紀(jì)籠罩在微積分外面的神秘云霧。繼而在此基礎(chǔ)上，黎曼(Riemann)于1854年和達(dá)布(Darboux)于1875年對(duì)有界函數(shù)建立了嚴(yán)密的積分理論，19世紀(jì)后半葉，戴德金(Dedekind)等人完成了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論。至此，數(shù)學(xué)分析的理論和方法完全建立在牢固的基礎(chǔ)之上，基本上形成了一個(gè)完整的體系，也為20世紀(jì)現(xiàn)代分析的發(fā)展鋪平了道路。
【相關(guān)聯(lián)系】
微積分理論的產(chǎn)生離不開(kāi)物理學(xué)，天文學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)，幾何學(xué)等學(xué)科的發(fā)展，微積分理論從其產(chǎn)生之日起就顯示了巨大的應(yīng)用活力，所以在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中，應(yīng)強(qiáng)化微積分與相鄰學(xué)科之間的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用背景，充實(shí)理論的應(yīng)用性?xún)?nèi)容。數(shù)學(xué)分析的教學(xué)除體現(xiàn)本課程嚴(yán)格的邏輯體系外，也要反映現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢(shì)，吸收和采用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想觀點(diǎn)與先進(jìn)的處理方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)。