數(shù)學(xué)是利用符號語言研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間等概念的一門學(xué)科。借助語言闡述關(guān)系(數(shù)量關(guān)系，結(jié)構(gòu)關(guān)系，前后變化關(guān)系)的學(xué)科，透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數(shù)、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產(chǎn)生。數(shù)學(xué)家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)出的定理。注意：公式也是語等價轉(zhuǎn)換。公式不僅僅涉及到數(shù)量的關(guān)系，也涉及到性質(zhì)的關(guān)系。
基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一塊。其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達(dá)米亞及古印度內(nèi)的古代數(shù)學(xué)文本內(nèi)便可觀見。從那時開始，其發(fā)展便持續(xù)不斷地有小幅的進展，直至16世紀(jì)的文藝復(fù)興時期，因為和新的科學(xué)發(fā)現(xiàn)相作用而產(chǎn)生的數(shù)學(xué)革新導(dǎo)致了知識的加速發(fā)展，直至今日。
今日，數(shù)學(xué)使用在世界不同的領(lǐng)域中，包括科學(xué)、工程、醫(yī)學(xué)和經(jīng)濟學(xué)等。數(shù)學(xué)對這些領(lǐng)域的應(yīng)用通常被稱為應(yīng)用數(shù)學(xué)，有時亦會激起新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，并導(dǎo)致全新學(xué)科的發(fā)展。數(shù)學(xué)家也研究純數(shù)學(xué)，也就是數(shù)學(xué)本身，而不以任何實際應(yīng)用為目標(biāo)。雖然許多研究以純數(shù)學(xué)開始，但其過程中也能發(fā)現(xiàn)許多應(yīng)用之處。
創(chuàng)立于二十世紀(jì)三十年代的法國的布爾巴基學(xué)派認(rèn)為：數(shù)學(xué)，至少純粹數(shù)學(xué)，是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論。結(jié)構(gòu)，就是以初始概念和公理出發(fā)的演繹系統(tǒng)。布學(xué)派認(rèn)為，有三種基本的抽象結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)(群，環(huán)，域……)，序結(jié)構(gòu)(偏序，全序……)，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)(鄰域，極限，連通性，維數(shù)……)。
數(shù)學(xué)是利用符號語言研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間等概念的一門學(xué)科。借助語言闡述關(guān)系(數(shù)量關(guān)系，結(jié)構(gòu)關(guān)系，前后變化關(guān)系)的學(xué)科，透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數(shù)、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產(chǎn)生。數(shù)學(xué)家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)出的定理。注意：公式也是語等價轉(zhuǎn)換。公式不僅僅涉及到數(shù)量的關(guān)系，也涉及到性質(zhì)的關(guān)系。
基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一塊。其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達(dá)米亞及古印度內(nèi)的古代數(shù)學(xué)文本內(nèi)便可觀見。從那時開始，其發(fā)展便持續(xù)不斷地有小幅的進展，直至16世紀(jì)的文藝復(fù)興時期，因為和新的科學(xué)發(fā)現(xiàn)相作用而產(chǎn)生的數(shù)學(xué)革新導(dǎo)致了知識的加速發(fā)展，直至今日。
今日，數(shù)學(xué)使用在世界不同的領(lǐng)域中，包括科學(xué)、工程、醫(yī)學(xué)和經(jīng)濟學(xué)等。數(shù)學(xué)對這些領(lǐng)域的應(yīng)用通常被稱為應(yīng)用數(shù)學(xué)，有時亦會激起新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，并導(dǎo)致全新學(xué)科的發(fā)展。數(shù)學(xué)家也研究純數(shù)學(xué)，也就是數(shù)學(xué)本身，而不以任何實際應(yīng)用為目標(biāo)。雖然許多研究以純數(shù)學(xué)開始，但其過程中也能發(fā)現(xiàn)許多應(yīng)用之處。
創(chuàng)立于二十世紀(jì)三十年代的法國的布爾巴基學(xué)派認(rèn)為：數(shù)學(xué)，至少純粹數(shù)學(xué)，是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論。結(jié)構(gòu)，就是以初始概念和公理出發(fā)的演繹系統(tǒng)。布學(xué)派認(rèn)為，有三種基本的抽象結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)(群，環(huán)，域……)，序結(jié)構(gòu)(偏序，全序……)，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)(鄰域，極限，連通性，維數(shù)……)。
從歷史時代的一開始，數(shù)學(xué)內(nèi)的主要原理是為了做稅務(wù)和貿(mào)易等相關(guān)計算，為了了解數(shù)字間的關(guān)系，為了測量土地，以及為了預(yù)測天文事件而形成的。這些需要可以簡單地被概括為數(shù)學(xué)對數(shù)量、結(jié)構(gòu)、空間及時間方面的研究。
到了16世紀(jì)，算術(shù)、初等代數(shù)、以及三角學(xué)等初等數(shù)學(xué)已大體完備。17世紀(jì)變量概念的產(chǎn)生使人們開始研究變化中的量與量的互相關(guān)系和圖形間的互相變換。在研究經(jīng)典力學(xué)的過程中，發(fā)明了微積分。隨著自然科學(xué)和技術(shù)的進一步發(fā)展，為研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)而產(chǎn)生的集合論和數(shù)理邏輯等也開始慢慢發(fā)展。
數(shù)學(xué)從古至今便一直不斷地延展，且與科學(xué)有豐富的相互作用，并使兩者都得到好處。數(shù)學(xué)在歷史上有著許多的發(fā)現(xiàn)，并且直至今日都還不斷地發(fā)現(xiàn)中。依據(jù)Mikhail B. Sevryuk于美國數(shù)學(xué)會通報2006年1月的期刊中所說，“存在于數(shù)學(xué)評論數(shù)據(jù)庫中論文和書籍的數(shù)量自1940年(數(shù)學(xué)評論的創(chuàng)刊年份)現(xiàn)已超過了一百九十萬份，而且每年還增加超過七萬五千份的細(xì)目。此一學(xué)海的絕大部份為新的數(shù)學(xué)定理及其證明。”
數(shù)學(xué)有著久遠(yuǎn)的歷史。它被認(rèn)為起源于人類早期的生產(chǎn)活動;中國古代的六藝之一就有“數(shù)”[10]，數(shù)學(xué)一詞在西方有希臘語詞源μαθηματικός(mathematikós), 意思是“學(xué)問的基礎(chǔ)”，源于μάθημα(máthema)(“科學(xué)，知識，學(xué)問”)。
史前的人類就已嘗試用自然的法則來衡量物質(zhì)的多少、時間的長短等抽象的數(shù)量關(guān)系，如時間-日、季節(jié)和年。算術(shù)(加減乘除)也自然而然地產(chǎn)生了。古代的石碑亦證實了當(dāng)時已有幾何的知識。
更進一步則需要寫作或其他可記錄數(shù)字的系統(tǒng)，如符木或于印加帝國內(nèi)用來儲存數(shù)據(jù)的奇普。歷史上曾有過許多且分歧的記數(shù)系統(tǒng)。