解三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
解三角形知識(shí)點(diǎn)有哪些呢?下面是應(yīng)屆畢業(yè)生小編為大家分享有關(guān)解三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié),歡迎大家閱讀與學(xué)習(xí)!
一 正弦定理
(一)知識(shí)與工具:
abc???2R。 正弦定理:在△ABC中,sinAsinBsinC
在這個(gè)式子當(dāng)中,已知兩邊和一角或已知兩角和一邊,可以求出其它所有的邊和角。 注明:正弦定理的作用是進(jìn)行三角形中的邊角互化,在變形中,注意三角形中其他條件的應(yīng)用:
(1)三內(nèi)角和為180°
(2)兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊
(3)面積公式:S=1abcabsinC==2R2sinAsinBsinC 24R
A?BCCA?B=cos,cos=sin 2222(4)三角函數(shù)的恒等變形。 sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC ,sin
(二)題型 使用正弦定理解三角形共有三種題型
題型1 利用正弦定理公式原型解三角形
題型2 利用正弦定理公式的變形(邊角互化)解三角形:關(guān)于邊或角的齊次式可以直接邊角互化。
題型3 三角形解的個(gè)數(shù)的討論
方法一:畫(huà)圖看
方法二:通過(guò)正弦定理解三角形,利用三角形內(nèi)角和與三邊的不等關(guān)系檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否符合實(shí)際意義,從而確定解的個(gè)數(shù)。
二 余弦定理
(一)知識(shí)與工具:
b2?c2?a2
a=b+c﹣2bccosA cosA= 2bc222
a2?c2?b2
b=a+c﹣2accosB cosB= 2ac222
a2?b2?c2
c=a+b﹣2abcosC cosC= 2ab222
注明:余弦定理的作用是進(jìn)行三角形中的邊角互化,當(dāng)題中含有二次項(xiàng)時(shí),常使用余弦定理。在變形中,注意三角形中其他條件的應(yīng)用:
(1)三內(nèi)角和為180°;
(2)兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊。
(3)面積公式:S=abc1absinC==2R2sinAsinBsinC 4R2
(4)三角函數(shù)的恒等變形。
(二)題型使用余弦定理解三角形共有三種現(xiàn)象的題型
題型1 利用余弦定理公式的原型解三角形
題型2 利用余弦定理公式的變形(邊角互換)解三角形:凡在同一式子中既有角又有邊的題,要將所有角轉(zhuǎn)化成邊或所有邊轉(zhuǎn)化成角,在轉(zhuǎn)化過(guò)程中需要構(gòu)造公式形式。
題型3 判斷三角形的形狀
結(jié)論:根據(jù)余弦定理,當(dāng)a2+b2c2、b2+c2>a2,c2+a2>b2中有一種關(guān)系式成立時(shí),并不能得出該三角形為銳角三角形的結(jié)論。
判斷三角形形狀的方法:
(1)將已知式所有的邊和角轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系,通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀。
(2)將已知式所有的邊和角轉(zhuǎn)化為內(nèi)角三角函數(shù)間的關(guān)系,通過(guò)三角恒等變形,得出內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷出三角形的形狀,這時(shí)要注意使用A+B+C=π這個(gè)結(jié)論。
在兩種解法的等式變形中,一般兩邊不要約去公因式,應(yīng)移項(xiàng)提取出公因式,以免漏解。
正余弦定理在實(shí)際中的應(yīng)用
題型3 計(jì)算角度 題型4 測(cè)量方案的.設(shè)計(jì)
實(shí)際應(yīng)用題型的本質(zhì)就是解三角形,無(wú)論是什么樣的現(xiàn)象,都要首先畫(huà)出三角形的模型,再通過(guò)正弦定理和余弦定理進(jìn)行求解。
練習(xí)題
1、 在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程x?2x?2?0的兩個(gè)根,且22cos?A?B??1。求:(1)角C的度數(shù); (2)AB的長(zhǎng)度。
2、 在△ABC中,證明:cos2Acos2B11???。 2222abab
23、 在△ABC中,a?b?10,cosC是方程2x?3x?2?0的一個(gè)根,求△ABC周長(zhǎng)的
最小值。
4、 在△ABC中,若cosAcosBsinC??,則△ABC是( ) abc
A.有一內(nèi)角為30°的直角三角形 B.等腰直角三角形
C.有一內(nèi)角為30°的等腰三角形 D.等邊三角形
5、 已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為2、3、x,則x的取值范圍是( )
A.1?x?5 B.?x? C.0?x? 5 D.?x?5
6、若△ABC的周長(zhǎng)等于20,面積是3,A=60°,則BC邊的長(zhǎng)是( )
A. 5 B.6 C.7 D.8
7、在△ABC中,已知2sinAcosB?sinC,那么△ABC一定是 ( )
A.直角三角形
B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形
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