學(xué)習(xí)不定積分的方法總結(jié)
定積分是一個數(shù)，而不定積分是一個表達式，它們僅僅是數(shù)學(xué)上有一個計算關(guān)系，其它一點關(guān)系都沒有！一個函數(shù)，可以存在不定積分，而不存在定積分，也可以存在定積分，而沒有不定積分。下面是小編為您整理的關(guān)于學(xué)習(xí)不定積分的方法總結(jié)的相關(guān)資料，歡迎閱讀！
一、不要過多關(guān)心為什么要學(xué)積分，尤其是手算求積分
不定積分的繁瑣會令很多人望而生畏，累覺不愛后必然引出一個經(jīng)典問題——我干嘛要愛它�。‰x了它我照樣活�。�
其實很多專業(yè) 為什么要學(xué)高等數(shù)學(xué) 是一個足夠?qū)ｉT寫一本書的爭議話題，我個人認為最需要想清楚的還是以下幾條：
（1）可交換的概念，有些問題的學(xué)習(xí)順序是不可交換的，比如一個人腦子里一旦有了錢，他就很難再靜下心來學(xué)數(shù)學(xué)了——最多對付著教教數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，嗯。所以不要總想著為什么不能一邊學(xué)金融一邊用到什么數(shù)學(xué)補什么。
�。�2）比起二十年前，眼下的社會并不妨礙偏才怪才的發(fā)展，如果你喜歡唱歌，大可以去參加各種選秀，其實大部分自以為唱歌很好的同學(xué)充其量也就是個企業(yè)年終晚會主唱的水平，不然這年代你可能早就脫穎而出了，參考tf boys。如果你只是個普通大學(xué)生，那么積分對你將來的發(fā)展大概率會有用的。
�。�3）除去個別生在“教育世家”的同學(xué)之外，要明白你現(xiàn)在能密切接觸到的人里最懂教育學(xué)的是你的大學(xué)老師們，你不信我們?nèi)バ啪W(wǎng)上的所謂心靈雞湯，你自己說你4842。
�。�4）雖然時代發(fā)展了，計算機技術(shù)可以代替很多人類勞動，但是不定積分是個特例。你可以不去用手算十位數(shù)乘法，可以不去用手算求平方根，可以不去用手算sin 2是多少，因為這些你都大概知道可以怎么算，只是算起來麻煩所以交給了計算機（sin 2雖然上大學(xué)以前不會算，但是現(xiàn)在起碼有taylor公式）。
但是不定積分不同，你問一百個普通數(shù)學(xué)老師，會有九十九個不清楚計算機到底是怎么實現(xiàn)的不定積分，注意是不定積分，定積分怎么做還是會的。所以你連它大概怎么算出來的都不清楚，就敢用它的結(jié)果嗎？（我好像聽見了學(xué)生說“敢”的聲音……）
所以說，還是不要討論為什么要學(xué)積分這個話題，為什么要學(xué)積分，因為考試考，少廢話。少說多干，行勝于言，“我不相信教育會是完全快樂的�！�
二、要清楚積分相關(guān)的教學(xué)和考試要求
�。�1）一定要清楚，不可積（這里指不定積分）函數(shù)類是比可積的“多”很多的，可積的沒有初等函數(shù)表示的是比有初等函數(shù)表示的“多”很多的，有初等函數(shù)表示但是不容易算出來的是比容易算出來的多很多的，容易算出來的是比我們考試會考的多很多的。這里的多是個什么概念，近似的理解成就是無理數(shù)比有理數(shù)“多”的那種多。所以放心，把教材上所有題目都刷一遍也不存在“運動過量”的問題。
�。�2）充分重視因式分解在學(xué)習(xí)方法上的借鑒意義。因式分解和不定積分都是比較自然的思維方向的運算的逆運算，所以沒學(xué)之前應(yīng)該都覺得是很神奇的東西。想不明白怎么學(xué)積分，不妨回憶下初中是怎么學(xué)因式分解的；想不明白積分要學(xué)到什么程度，不妨去體會一下你現(xiàn)在因式分解會到了什么程度，離代數(shù)基本定理的格式還差多遠。
�。�3）個人覺得待定系數(shù)法做因式分解，跟有理分式積分法比較像。如果你說，積分太難了，有沒有什么流程化的辦法，哪怕做起來很累，但可以對相當(dāng)大的一類函數(shù)機械的做下去，那最常見的答案就是有理分式積分法。但是這東西大部分專業(yè)考試不考。
�。�4）學(xué)積分離不開刷題，但是由于不是什么樣的函數(shù)都能隨便積得出來，所以最好別隨便拎出來一個函數(shù)就試著積分，如果不知道該試誰，一般教材課后都有一個大積分表，挨個算吧。
�。�5）任何數(shù)學(xué)考試不會為了考積分而考積分，或者說，不會閑著沒事考你一個隱居在深山老林里的函數(shù)的積分。到底哪些是可以考的，哪些是不可以考的，沒有別的辦法，刷題吧，刷一刷你就知道哪些是常見好積的函數(shù)了。
三、該刷題就刷題，注意是刷題而不是刷答案
�。�1）很多大一學(xué)生覺得好像所有數(shù)學(xué)老師清一色的反對刷題，但是其實這個理解有誤。有誤的原因有兩條：第一，我們對刷題這個詞的定義不一樣，老師們反對的是刷題，同學(xué)理解的是不做題；第二，老師們反對的是靠刷題來學(xué)習(xí)新東西，除了刷題不知道該怎么學(xué)習(xí)了。比如看到一個新概念新定理，不做一百道同類型的題目完全記不住它，這個是大學(xué)堅決反對的。如果你沒做題前就把新概念的內(nèi)涵體會得差不多了，該想到的問題自己舉一反三的想到了，然后再做點題擴展下思維，這個沒人反對，而且是提倡的。
（2）積分運算是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里的一個單獨方向。與前面的非初等函數(shù)毀三觀，中值定理考智商相比，積分真的很友好，因為它和中學(xué)的學(xué)習(xí)思路是一致的。證明方面的要求基本沒有了，只剩下了計算（其實很多問題還是存在的，只是再要求學(xué)生會把學(xué)生逼瘋的，而且對很多專業(yè)好像確實沒有啥用）……然后怎么辦，一句話，我不相信你當(dāng)年不做一千個題能學(xué)會因式分解。
�。�3）既然是逆運算，注意刷題的時候一定不要隨便看提示，看了就完全沒有意義了。每做一道題都抱著是在考試的自虐心態(tài)，可能略有幫助。不要總是做到一半就瞅一眼答案，然后發(fā)現(xiàn)，噢，原來這次少寫了個常數(shù)，那次少把換元變量又換回去了，下次又沒把三角函數(shù)和反三角函數(shù)的復(fù)合化簡什么的。做就做到底，然后看看答案，這樣如果做錯了可能會印象深刻一點，于是相當(dāng)于少刷了很多題。至于個別懶癌患者看到根式就想到三角換元，然后這道題就停留在“應(yīng)該三角換元”的水平不往后做了，恭喜你跟我上課講課一個風(fēng)格。但如果是考試，我能接著做出來，你也能就行。
四、不要總想著捷徑，也不要無視規(guī)律的存在
積分學(xué)習(xí)也不是完全無章可循，硬說捷徑也不是一點都沒有，比如以下幾條可以一試，但是到底算不算捷徑就不清楚了。
（1）非數(shù)學(xué)專業(yè)的`學(xué)生，可以嚴重注意一下形式運算這個東西。非常好用。你會發(fā)現(xiàn)原來微積分這種非初等運算還保留了一點點可以偷懶的看成初等運算的余地，不禁感激上天有好生之德�！绻阏嬗X得感動了，恭喜你，順便明白了什么叫斯德哥爾摩綜合癥。
（2）可以嘗試用找茬的心態(tài)來閱讀教材和做練習(xí)。舉個不太友好的例子，比如你看到某教材上先用倍角公式求出來csc x的積分，又用余角公式去求了sec x的積分，應(yīng)該立刻抗議才對，因為很明顯這不符合一般的數(shù)學(xué)“直覺”，csc x和sec x八成會有某種“對稱性”，一個靠另一個用余角公式求出來是很別扭的。然后自己試著看看有沒有更一般的求法，應(yīng)該很快可以發(fā)現(xiàn)能讓它們地位相近的更通用的積分方法。
�。�3）很多函數(shù)有很多不同的積分方法，初學(xué)最好都試試，然后再評析一下優(yōu)先級順序，這兩步都很重要。就像a^6-b^6的因式分解，先看成平方差公式和先看成立方差公式，因式分解難度就是不同的。
�。�4）適當(dāng)?shù)陌严嘟暮瘮?shù)匯總在一起總結(jié)一下。積分運算很麻煩的一個重要原因是，被積函數(shù)形式稍微變一點，結(jié)論可能大不一樣，通往結(jié)論的做法也可能大不一樣。所以看到了xe^(x^2)的積分，沒等看下一個例題，就去想想如果是x^2e^(x^2)會怎么樣，如果是x^2e^x又會怎么樣，然后再試著想想為什么它們的做法大不一樣。雖然估計想了也并沒有用，但是想想還是好的。特別提醒那幾個根式相關(guān)的東西，sqrt(x^2+a^2)，sqrt(x^2-a^2)，sqrt(a^2-x^2)以及它們的倒數(shù)。
�。�5）在做了一定量的習(xí)題之后，注意必須是在這之后，可以考慮自己獨立“構(gòu)造”一次積分表。把你腦子里的所有函數(shù)按其重要程度排個序，然后依次研究下它們的積分，比如最開始是常函數(shù)，然后是單項式、多項式，冪函數(shù)，指對數(shù)，三角……然后它們的復(fù)合……可能對整理思路略有幫助。這個練習(xí)與之前提到的“不要隨便對一個函數(shù)就試著積分”應(yīng)該并不矛盾，因為大部分同學(xué)腦子里也沒有多少函數(shù)，不怕積不出來……
�。�6）充分重視一下那幾個原函數(shù)沒有初等表示的例子，雖然眼下根本證明不了它為什么沒有初等表示，也不知道到底啥樣的才沒有初等表示，但記下來這些對于微積分的學(xué)習(xí)，尤其是多元積分，具有重要意義。
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